(a)
Com base nas informações da questão, seja X a matrix de payoffs e p o vetor de preços dos ativos dados por.
\[
X =
\begin{bmatrix}
a & (1-b) \\ a & (1+b)
\end{bmatrix}
p =
\begin{bmatrix}
1/1+r\\ 1
\end{bmatrix}
\]
Defina uma carteira como um vetor coluna h que representa as quantitdades de cada um dos ativos. No presente caso,
\[
h =
\begin{bmatrix}
h_1\\ h_2
\end{bmatrix}
\]
O payoff de uma carteira h é uma combinação linear dos payoffs dos ativos, ponderados pelas quantidades da carteira, ou seja, é igual a
\[
Xh = h_1
\begin{bmatrix}
a \\ a
\end{bmatrix}
+ h_2
\begin{bmatrix}
(1-b) \\ (1+b)
\end{bmatrix}
\]
O preço de uma carteira h é dado por
\[
p.h = p_1 h_1 + p_2 h_2
\]
Uma arbitragem é uma carteira h cujo payoff é \(Xh \geq 0\) e preço é \(p.h \leq 0\), com pelo menos uma desigualdade estrita. No caso em questão, para que haja arbitragem é preciso que o sistema a seguir tenha solução
\[
a h_1 + (1-b)h_2 \geq 0
\]
\[
a h_1 + (1+b)h_2 \geq 0
\]
\[
(1/1+r)h_1 + h_2 \leq 0
\]
Pelo Lema de Farkas, exatamente uma das seguintes alternativas é válida:
(1) A desigualdade \(Xh \geq 0\) tal que \(p.h < 0\) tem uma solução \(h \in \Re^2\)
(2) A equação \(X'q = p\) tem uma solução não-negativa \(q\in\Re^2\)
Ou seja, ou há ou não há oportunidades de arbitragem. Para testar, tome a segunda alternativa:
\[
a q_1 + a q_2 = 1/1+r
\]
\[
(1-b)q_1 + (1+b)q_2 = 1
\]
Da primeira equação:
\[
q_1 = \frac{1}{a(1+r)} - q_2
\]
Substituindo na segunda equação e rearranjando os termos obtemos
\[
q_2 = \frac{1}{2b} -\frac{(1-b)}{2ba(1+r)}
\]
Substituindo na expressão para \(q_1\) e rearranjando os termos encontramos
\[
q_1 = \frac{b - a(1+r)}{2ba(1+r)}
\]
Para que \(q_1\) e \(q_2\) sejam não-negativos, é preciso ter
\[
\frac{b - a(1+r)}{2ba(1+r)} \geq 0
\]
e
\[
\frac{1}{2b} -\frac{(1-b)}{2ba(1+r)} \geq 0
\]
Da primeira condição, simplificando:
\[
\frac{b}{(1+r)} \geq a
\]
Da segunda condição,
\[
a \geq \frac{(1-b)}{(1+r)}
\]
Ou seja, desde que
\[
b \geq a(1+r) \geq (1-b)
\]
não haverá oportunidade de arbitragem.
Como exemplo, suponha que \(b = 0.7\), \(a = 0.5\) e \(r = 0.1\). Note que estes valores satisfazem a condição:
\[
0.7 \geq 0.55 \geq 0.3
\]
A única solução para o sistema
\[
0.5 h_1 + 0.3h_2 \geq 0
\]
\[
0.5h_1 + 1.7h_2 \geq 0
\]
\[
0.9h_1 + h_2 \leq 0
\]
é a solução trivial, mas neste caso não teríamos pelo menos uma desigualdade estrita, como exige a definição de arbitragem.
Como contraexemplo, suponha que \(b = 0.3\), \(a = 0.5\) e \(r = 0.1\). Estes valores não satisfazem às condições de não arbitragem derivadas acima. É possível então montar uma carteira cujo payoff é positivo e que tenha preço negativo. Tome, por exemplo, a carteira \(h^a = [-1.4; 1.1]\). Fazendo as contas:
\[
0.5(-1.4) + 0.7(1.1) = 0.07>0
\]
\[
0.5(-1.4) + 1.3(1.1) = 0.73>0
\]
\[
0.9(-1.4) + 1.1 = -0.16 < 0
\]
A carteira \(h^a\) é uma arbitragem
(b)
O conjunto de todos os payoffs disponíveis no mercado de ativos é um subespaço gerado pelos payoffs dos ativos deste mercado. Como temos dois ativos:
\[
M = \{z\in \Re^2 : z = Xh \text{ para algum } h\in\Re^2\}
\]
Um mercado é dito completo se \(M = \Re^2\), ou seja, se os payoffs dos ativos são capazes de gerar qualquer payoff no \(\Re^2\). Para que isso ocorra, é preciso que a matriz de payoffs X tenha posto igual a 2, ou seja, que os dois vetores de payoffs sejam linearmente independentes. Considerando a matriz do problema, ela possuirá posto igual a dois se a únicao solução para o sistema abaixo for a solução trivial \(x_1 = x_2 = 0\)
\[
\begin{bmatrix}
a & (1-b) \\ a & (1+b)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0
\end{bmatrix}
\]
Nota-se que, exceto quando b = 0, a única solução para o sistema é a trivial. Assim, o mercado será completo desde que b não seja nulo.
(c)
Conforme o exposto em (b), sempre que b for diferente de zero os mercados serão completos. Note que se b = 0 as colunas da matriz de payoffs são múltiplas uma da outra (os vetores de payoff são colineares), de forma que só é possível gerar payoffs do tipo \((\alpha, \alpha)\). Caso contrário, qualquer vetor do \(\Re^2\) pode ser formado pela combinação linear dos dois vetores de payoff. Logo o span da matriz de payoffs é igual a \(\Re^2\) e, portanto, os mercados são completos.