Questões sobre matrizes simétricas

Question

Sejam \(A\) e \(B\) matrizes quadradas. Cheque se as afirmativas abaixo são verdadeiras:

i) \(A+A^\prime\) é simétrica.

ii) Se \(A\) e \(B\) são simétricas, então \(AB\) é simétrica.

iii) Se \(B\) simétrica, então \(A^\prime BA\) é simétrica.

Answer 1

Uma matriz é simétrica se ela é igual a sua transposta.

i) \((A+A^\prime)^\prime = (A^\prime + A) =(A+A^\prime)\). [Verdadeira]

ii) \((AB)^\prime = B^\prime A^\prime = BA\). Uma das condições que garante que a afirmativa seja verdadeira é exigir que o produto entre \(A\) e \(B\) seja comutativo.

Um contraexemplo simples é

\[ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3\\ 3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 4 & 2\\ 2 & 5 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 10 & 17\\ 16 & 16 \end{array} \right] \]

[Falsa]

iii) \((A^\prime B A)^\prime= A^\prime B^\prime A=A^\prime B A\) [Verdadeira]