Questão sobre vetores

Question

Sejam as seguintes questões abaixo sobre vetores no \(\mathbb{R}^n\). Marque as alternativas verdadeiras.

(i) Se dois vetores \(u\) e \(v\) são ortogonais, eles são Linearmente Independentes.

(ii) A norma do vetor \(v\), dado por \(v=\frac{u}{||u||}\), é igual a 1.

(iii) Sejam \(u\) e \(v\) vetores. Então, \(u.v = \frac{1}{4} (||u+y||^2 - ||u-v||^2)\).

Answer 1

(i) Veja que a resposta a essa pergunta já está aqui

(ii) Note que \(||v||=\left|\left|\frac{u}{||u||}\right|\right|=\frac{1}{||u||}||u||=1.\)

(iii) Note que isso é muito parecido com a Lei do Paralelogramo. Note que

\(||u+v||^2=(u+v)\cdot (u+v)=||u||^2 + 2u\cdot v + ||v||^2\)

\(||u-v||^2=(u-v)\cdot (u-v)=||u||^2 - 2u\cdot v + ||v||^2\)

Subtraie a segunda da primeira e rearrume os resultados para chegar a resposta.