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Questão de autovalores e autovetores

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perguntada Out 9 em Matemática por danielcajueiro (5,786 pontos)  

Sejam \(a\) e \(b\) dois números reais distintos. Defina as matrizes

\(A=\left[\begin{array}{cc}
0 & a \\
a & 0\\
\end{array}\right]\) e
\(B=\left[\begin{array}{cc}
0 & b \\
b & 0\\
\end{array}\right]\).

Encontre todos os pares de soluções \((\lambda,X)\) que satisfazem a relação \(AX+XB=\lambda X\), onde \(\lambda\) é um número real e \(X\) é uma matriz não nula.

a) Explicite o problema que você deseja resolver como um problema de encontrar todos os autovalores e autovetores de uma matriz associada a esse problema.

b) Resolva o problema que você montou em (a) para encontrar as soluções desejadas.

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1 Resposta

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respondida Out 9 por danielcajueiro (5,786 pontos)  

a) Escreva \[X= \left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{array} \right] \]
Logo, buscamos \(X\) e \(\lambda\) que satisfazem

\[ \left[ \begin{array}{cc} 0 & a\\ a & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 0 & b\\ b & 0 \end{array} \right] =\lambda \left[ \begin{array}{cc} x_1 & x_2\\ x_3 & x_4 \end{array} \right]. \]

Note que esse problema pode ser reescrito como

\(ax_3 + b x_2 = \lambda x_1\)
\(ax_4 + b x_1 = \lambda x_2\)
\(ax_1 + b x_4 = \lambda x_3\)
\(ax_2 + b x_3 = \lambda x_4\)

Ou ainda no formato desejado

\[\left[ \begin{array}{cccc} 0 & b & a & 0\\ b & 0 & 0 & a\\ a & 0 & 0 & b\\ 0 & a & b & 0\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right]=\lambda \left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{array} \right]\]

b)

Use cofatores para calcular

\[\left| \begin{array}{cccc} -\lambda & b & a & 0\\ b & -\lambda & 0 & a\\ a & 0 & -\lambda & b\\ 0 & a & b & -\lambda\\ \end{array} \right|=0 \]

Chegando a equação

\[\lambda^4 -2(a^2 + b^2)\lambda^2 +(a^2-b^2)^2=0\]
que é uma equação biquadrática cuja solução é dada por

\(\lambda^2 = a^2 + b^2 \pm \sqrt{(a^2 + b^2)^2 - (a^2 -b^2)^2}=\)
\(a^2 + b^2 \pm 2ab = (a\pm b)^2\).

Logo, encontramos 4 autovalores dados por \(\lambda = \pm (a \pm b)\).

Substituindo esses autovalores (um por vez, obviamente) encontramos 4 autovetores. Logo, a solução procurada do problema são os pares:

\(\left(a+b, t \left[ \begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 1 \end{array} \right] \right)\),
\(\left(-a-b, t \left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1\\
1 & -1 \end{array} \right] \right)\),
\(\left(a-b, t \left[ \begin{array}{cc}
1 & -1\\
1 & -1 \end{array} \right] \right)\)

\(\left(-a+b, t \left[ \begin{array}{cc}
1 & 1\\
-1 & -1 \end{array} \right] \right)\).

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