Operador projeção

Question

Sejam \(W=\{w_1,\cdots,w_K\}\) um conjunto de vetores Linearmente Independentes e \(T: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n\), dado por \(T(x)=\sum_{k=1}^{K}\frac{w_k.x}{w_k.w_k}w_k \), um operador conhecido como projeção que é muito útil em econometria e finanças.

a) \(T\) é um operador linear? Em caso positivo justifique.

b) Suponha que \(n=3\) e \(W=\{(1,1,1),(1,0,1)\}\). Encontre o núcleo desse operador. Qual a característica que todos os elementos do núcleo possuem?

c) Encontre a dimensão da imagem de \(T\). Justifique.

Answer 1

a) Sim!

\(T(ax _y)=\sum_{k=1}^{K}\frac{w_k.(ax+y)}{w_k.w_k}w_k = \)
\(=\sum_{k=1}^{K}\frac{w_k.(ax)+w_k.y}{w_k.w_k}w_k=\)
\(=a\sum_{k=1}^{K}\frac{w_k.x}{w_k.w_k}w_k + \sum_{k=1}^{K}\frac{w_k.y}{w_k.w_k}w_k =aT(x)+T(y)\).

b) Seja \(x=(x_1,x_2,x_3)\). Então o núcleo pode ser encontrado fazendo \(T(x)=0\).

\(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}(1,1,1)+\frac{x_1+x3}{2}(1,0,1)=0\)

Note que como os vetores (1,1,1) e (1,0,1) são LI, a única forma desse resultado dar nulo é que os coeficientes sejam nulos. Isso irá ocorrer quando \((x_1,x_2,x_3)\) for simultaneamente ortogonal a (1,1,1) e (1,0,1). Os vetores \((x_1,x_2,x_3)\) ortogonais a (1,1,1) e (1,0,1) podem ser encontrados resolvendo o seguinte sistema linear

\(x_1+x_2+x_3=0\)
\(x_1+x3=0\)

cuja solução é dada por \((-a,0 ,a)\forall a \in \mathbb{R}\). Logo, o núcleo tem dimensão 1.

c) Usando o teorema que diz que \[\dim(\mathcal{N}(T)) + \dim(\mathcal{I}(T)) = \dim(V)\]

concluímos que a dimensão da imagem é 2.