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Otimização de carteira, não arbitragem, precificação em mercado incompleto e inovação financeira.

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perguntada Nov 5 em Economia por Luiz Filippe (6 pontos)  

Considere uma economia com dois períodos, com dois consumidores que não consumem no primeiro período com funções de utilidade \(U^i\) e dotações iniciais \(w^i\), dois ativos e 3 estados no segundo período:

\(U^i(c_1,c_2,c_3) = log c_1 + log c_2\) ; \(w_1=(0,1,2)'\)
\(U^i(c_1,c_2,c_3) = log c_2 + log c_3\) ; \(w_2=(2,1,0)'\)

\(S=3,\quad J=2,\quad \
{\bf X}= \left[\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}\right] \)

a) Encontre os planos de consumo e o equilíbrio de preços.
Considere um terceiro ativo (0, 0, 1)'

b) E possível replicar esse ativo usando os dois outros ativos?

c) Na ausência de arbitragem, qual o intervalo de preços possíveis para
esse ativo?

d) Determine agora o equilíbrio da economia considerando um mercado
com os três ativos. Qual o efeito dessa inovação financeira?

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1 Resposta

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respondida 19 horas atrás por Luiz Filippe (6 pontos)  

LETRA A

O problema de maximização para o indivíduo i é:

\(max \quad u^i(c^i)\)
\(\qquad s.a \quad c_0^i \leq w_0^i- \left \langle p,h \right \rangle\)
\(\qquad \qquad c_s^i \leq w_s^i+ Xh\)

Consumidor 1

O problema informa que não há consumo no 1º período. Além do mais, o consumidor não valoriza o consumo no estado 3. Então, tem-se:

\(max \quad logc_1 + logc_2\)
\(\qquad s.a \quad p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0\)
\(\qquad \qquad c_1 \leq 0 + h_1^1\)
\(\qquad \qquad c_2 \leq 1 + h_2^1\)

Manipulando as restrições acima chegamos a \(h_2^1=c_2-1\). Assim:

\(\mathcal{L} = log(c_1) + log(c_2) + \lambda[p_1c_1 + p_2(c_2-1)]\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1} = 0\)
\(\qquad \frac{1}{c_1} = \lambda p_1\)
\(\qquad \frac{1}{c_1p_1}=\lambda\)

\(\frac{\mathcal{L}}{\partial c_2}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_2} = \lambda p_2\)

Resolvendo:

\(\frac{1}{c_2} = \frac{1}{c_1p_1}p_2 \quad \Longrightarrow \frac{c_1}{c_2}=\frac{p_2}{p_1}\)

\(\qquad\) Normalizando \(p_1=1\), temos que \(p_2=\frac{c_1}{c_2}\). Ao substituirmos na primeira restrição:

\(h_1+\frac{c_1}{c_2}h_2=0\) ; (vale com igualdade, pois \(u\) é estritamente crescente em \(c_1\))

\(\qquad\) Pela restrição 2, \(h_1^1=c_1\):

\(c_1 + \frac{c_1}{c_2}h_2=0 \Rightarrow \quad h_2=-c_1\frac{c_2}{c_1} \Rightarrow \quad c_2=-h_2\)

\(\qquad\) Da restrição 3, vemos que

\(c_2=1+h_2^1 \Rightarrow \quad c_2=1-c_2 \Rightarrow \quad c_2^1=\frac{1}{2}\)
\(h_2^1=-\frac{1}{2}\)
\(c_1^1=h_1\)

Consumidor 2

Assim como o consumidor 1, o consumidor 2 também não consome na data 0. Além do mais, não há valorização do consumo no estado da natureza 1. Assim:

\(\max \quad logc_2 + logc_3\)
\(\qquad s.a. p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0\)
\(\qquad \quad c_1 \leq 2 + h_1\)
\(\qquad \quad c_2 \leq 1+h_2\)
\(\qquad \quad c_3 \leq 0 + h_2\)

\(\mathcal{L} = logc_2 + logc_3 + \mu[p_1h_1+p_2h_2] + \lambda_1[2+h_1-c_1] +\)
\(\qquad\) \(\lambda_2[1+h_2-c_2] + \lambda_3[h_2-c_3]\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1}=0\)
\(\qquad \lambda_1=0\) ; (Restrição inativa)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_2}=\lambda_2\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_3}=0\)
\(\qquad \frac{1}{c_3}=\lambda_3\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_1}=0\)
\(\qquad \mu p_1 = 0\)

\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_2}=0\)
\(\qquad \mu p_2+\lambda_1+\lambda_2=0 \Rightarrow \mu=-frac{\lambda_1 - \lambda_2}{p_2}\) ; (\(\mu \ne 0\) porque nem \(p_2\) nem \(\lambda_i\) são 0).

Como consumir \(c_1\) não traz utilidade ao consumidor, ele investirá o menor valor possível em \(h_1\). Assim:

\(\qquad\) \(c_1 \leq 2+h_1 \Rightarrow \quad 0 = 2 + h_1 \Rightarrow \quad h_1^2=-2\)

Por market-clearing:

\(h_1^1=2 \Rightarrow \quad c_1^1=2\)
\(h_2^2=\frac{1}{2}\)
\(c_2^2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow c_2^2=\frac{3}{2}\)
\(c_2^3=\frac{1}{2}\)

\(\frac{p_1}{p_2}=\frac{c_2^1}{c_1^1}=\frac{1}{4}\)

RESPOSTA AINDA INCOMPLETA

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