Como resolver o problema do Hotel de Hilbert e ainda deixar um número infinito de quartos vazios?

Question

O Hotel de Hilbert tem infinitos quartos enumerados da forma 1,2,3... . No momento t=0, já tem um hóspede em cada quarto. Um número infinito de ônibus (contável) chega, cada um com um número infinito (contável) de pessoas. Como reorganizar os quartos de modo que os hóspedes que já estavam continuem no hotel, todos os hóspedes que chegam sejam acomodados e ainda sobre um número infinito de quartos vazios?

Answer 1

Considere a seguinte estratégia:

• Seja \( P=\{ primos\}\), na forma \( p_1, p_2, p_3,...\), com \(p_i < p_j \forall i \lt j \)
• Pegue cada morador \( i=1,2,3,...\) do hotel e coloque-os nos quartos enumerados como \( p_1^i\), i.e., nos quartos que são potências de 2.

• Para cada pessoa \(n\) do ônibus \(m\), coloque-a no quarto \( p_{(m+2)^n}\), i.e., na \(n\)-ésima potência natural do \((m+2)\)-ésimo primo. Como os número naturais são formados por uma combinação única de fatores primos, essa função é injetiva (logo, cada pessoa é colocada em um quarto, e duas pessoas não vão pro mesmo quarto).

• Existe um número infinito de primos (como mostrar isso?); logo, conseguindo alocar todo mundo a um quarto com essa regra.

• Note que todos quartos enumerados como um número natural que tem mais de um fator primo estão vazios! Logo, temos um número infinito de quartos vazios no Hotel de Hilbert.

Comments

Muito interessante!