O traço do produto de duas matrizes depende da ordem do produto das matrizes?

Question

O traço \(\mathrm{tr}\) de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Mostre que dadas duas matrizes \(A\) e \(B\) de ordem \(n\), \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\).

Answer 1

Apenas note que para uma matriz \(M\) de ordem \(n\), \(\mathrm{tr}(M)=\sum_{i} M_{ii}\).

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\[tr(AB)=\sum_{i=1}^{m} (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}\]

\[= \sum_{j=1}^{n} (AB)_{jj}=tr(BA)\]

Comments

Professor, você aceitaria a explicação de que a afirmação pode ser verdadeira se A-1(INVERSA DE A)=B. Deste modo, AxA-1=In e A-1xA=In.

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Estamos falando de traço. Não entendi a relação com o que vc mencionou sobre inversa.

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Professor, esta notação (AB)ii significa "linha i de A x coluna i de B"? Gostaria de entender como se lê isso. Como A e B estão em maiúsculas na sua resposta, entendi que seriam as linhas/colunas inteiras ao invés de cada entrada, correto? Neste caso, posso dizer que A e B (linhas/colunas) respeitam as mesmas regras de números escalares?

Fiz o exercício abrindo as matrizes resultantes da multiplicação de AB e BA e observando que os valores se repetem em ambos, mas ficou muito extensa.

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\((AB)_ii\) significa elemento \(ii\) da matriz produto.

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Professor, em prova, você aceitaria que o exercício fosse resolvido apenas por demonstração?

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Era uma questão objetiva! Eu não olhei a solução! Vc poderia resolver essa questão fazendo o produto de duas matrizes e checando o resultado!

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Professor, nessa questão, eu criei duas matrizes A e B como exemplo e, pelos cálculos numéricos, os valores de tr (AB)  e tr (BA) foram iguais. Isso já é suficiente para comprovar a propriedade ou o resultado ter sido igual pode ter sido uma simples coincidência?

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Sim!! É suficiente fazer com uma matriz genérica.