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Como provar que há infinitos números primos?
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perguntada
Jan 23, 2020
em
Matemática
por
anônimo
matemática
numeros
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respondida
Jan 24, 2020
por
Stuart Mill
(
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pontos)
selecionada
Jan 25, 2020
por
danielcajueiro
Melhor resposta
Seja \( P\) o conjunto de todos os primos. Sabemos que não é vazio, porque 3 é primo.
Suponha que \( P \) é finito. Como \(P \subset \mathbb{N}\), é enumerável. Logo, seja \(P=\{ p_1, p_2, ..., p_n\} \).
Seja \( s = 1+ \prod_{i=1}^n p_i\). s é natural, pois é sucessor de um produto de naturais, que é natural. s não é divísível por nenhum \( p \in P\); s é divisível por 1. Logo, s é primo. Contradição.
Logo, existem infinitos primos.
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