Question

Como provar que há infinitos números primos?

Answer 1

1. Seja \( P\) o conjunto de todos os primos. Sabemos que não é vazio, porque 3 é primo.
2. Suponha que \( P \) é finito. Como \(P \subset \mathbb{N}\), é enumerável. Logo, seja \(P=\{ p_1, p_2, ..., p_n\} \).
3. Seja \( s = 1+ \prod_{i=1}^n p_i\). s é natural, pois é sucessor de um produto de naturais, que é natural. s não é divísível por nenhum \( p \in P\); s é divisível por 1. Logo, s é primo. Contradição.
4. Logo, existem infinitos primos.