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Por que a preferência lexicográfica em um conjunto de escolha infinito não pode ser representada por uma função de utilidade, apesar de ela ser racional, isto é, completa e transitiva?

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perguntada Mar 10 em Economia por Raíssa (876 pontos)  

Suponha
\( X=R^2 \)

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1 Resposta

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respondida Mar 17 por Stuart Mill (1,454 pontos)  
selecionada Mar 18 por Raíssa
 
Melhor resposta

Suponha por contradição que \( u: \mathbb{R}_+^2 \rightarrow \mathbb{R}\) representa essa preferência. Como\( (x,1) \succ (x,0) \) para todo \( x \in \mathbb{R}\) , \( u(x,1) > u(x,0)\) para todo \( x \). Então \( I_x = [u(x,0), u(x,1)]\) é não degenerado. Tomando \( x' > x\), temos \( u(x',0)> u(x,1) \implies I_x \cap I_{x'} = \emptyset\). Usando o fato que \( \mathbb{Q}\) é denso em \( \mathbb{R} \), \( \exists q_x \in I_x\), para todo x real. Mas então defina \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q} \) como \( f(x) = q_x\) (aqui usamos o Axioma da Escolha...). Como os intervalos são disjuntos, \( f\) é uma injeção dos racionais nos reais, o que implicaria que os dois conjuntos têm o mesmo número de elementos, o que é uma contradição.

Portanto, a preferência lexicográfica definida nos reais não tem representação por função de utilidade.

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