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analise real

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perguntada Mar 19 em Engenharia por KALLYANNEkelly (11 pontos)  

Justificando, dê exemplos de conjuntos que:
a) Sejam abertos, mas não fechados;
b) Sejam fechados, mas não abertos;
c) Não sejam fechados nem abertos;
d) Sejam ao mesmo tempo fechados e abertos.

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1 Resposta

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respondida Mar 19 por Stuart Mill (1,454 pontos)  

Considere a reta real.

a) \( X = (0,1) \subset \mathbb{R}\). De fato, X equivale a \( X = \{x \in \mathbb{R}:(x>0) \land (x<1) \} \). Seja \( x \in X \). Tome \( \epsilon = \min \{ |x-0|, |1-x| \}/2 \). Então a \( B(x,\epsilon) \) de centro x e raio \( \epsilon\) está contida em X. De fato, tome \( b \in B \). Então \( |b-0|> \epsilon/2 >0 \) e \( |1-b|> \epsilon/2 >0 \) . Portanto, \( b \in X \). Para notar que não é fechado, seja a sequência definida por \( x_n = (1/2)^n\). Note que a sequência está em X e converge para 0. No entanto, \( 0 \not \in X\). Acabamos de achar uma sequência em X que converge para um elemento fora de X. Logo, X não é fechado.

b) \( X = \{0\}\). Toda sequência em X converge para X (a saber, a sequência nula constante). Agora tome qualquer \( \epsilon > 0 \) e seja \( B(0, \epsilon) \). Note que \( \epsilon/2 \in B(0,\epsilon)\), mas \(\epsilon/2 >0 \implies \epsilon/2 \not = 0 \implies \epsilon / 2 \not \in X \). Logo, toda aberta em torno do conjunto não está contida no conjunto.

c) \( X = [0,1) \). Para ver que não é aberto, note que \( B(0, \epsilon) \not \subset X \) pelo mesmo motivo discutido em b) (para qualquer \( \epsilon\)). Para ver que não é fechado, seja a sequência \( (x_n)\) definida pelo elemento típico \( x_n = 1- (1/2)^n\). \( (x_n) \subset X \), mas \( (x_n) \rightarrow 1 \not \in X \). Logo, achamos uma sequência em X que não converge para X. Logo, não é fechado.

d) \( X = \mathbb{R}\). Claramente toda sequência convergente nos reais converge para um número real (por definição). Portanto, é fechado. Agora seja \( x \in \mathbb{R}\). Agora tome QUALQUER \( \epsilon >0\). Afirmação: \( B(x,\epsilon) \subset \mathbb{R}\). De fato, \( B = \{ b \in \mathbb{R} : |b-x| < \epsilon \} \therefore b\in B \implies b \in \mathbb{R} \implies B \subset \mathbb{R}\). Logo, X é aberto.

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