conjuntos fechados

Question

1- Mostre que o conjunto dos números naturais N é um conjunto fechado em R. Por que não é compacto?

2- Mostre que se A⊂R é aberto e a∈A, então A-{a} é aberto.

Answer 1

1) Primeiro, seja \( X = (-\infty,0)\cup ({\cup}_{n \in \mathbb{N}}(n-1,n))\) . \(X \) é a união de abertos, logo, aberto. Logo, \( X^C\) é fechado (\(X^C = \mathbb{R} - X\) ). Mas \( X^C = \mathbb{N}\), logo é fechado.
2) Seja \( \epsilon_x >0\) tal que \( \forall x \in A, B(x,\epsilon_x) \subset A\). Agora seja \( b\in A-{a} \). Seja \( \kappa = \min \{\epsilon_b, |b-a|/2\}\). Note que \( B(b,\kappa) \subset A-\{a\}\). De fato, \( y \in B(b, \kappa) \implies y \in B(b,\epsilon_b) \implies y \in A \). Além disso,
\( y \in B(b, \kappa) \implies |y-a|>|b-a|/2 >0 \implies y \not =a\). Logo, \( y \in B(b, \kappa) \implies (y\in A) \land (y\not=a) \implies y \in A-\{a\}.\)