O operador \( E(XY)\) define um produto interno? Isso tem um nome?

Question

Sejam \(X,Y\) variáveis aleatórias definidas num mesmo suporte. Seja \( X \cdot Y := E(XY)\). Isso define um produto interno válido?

Answer 1

Sim. Normalmente se chama produto interno de variáveis aleatórias (Inner product of random variables). Normalmente, no caso geral, esse produto é definido no espaço \(\mathcal{L}^2\).
Você deve encontrar esse tipo de desenvolvimento em livros de Análise Funcional para Teoria de Probabilidade ou Teoria da Medida para probabilidade.