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Como mostrar a desigualdade triangular em espaços com produto interno?

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perguntada Mar 4, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,566 pontos)  
editado Mar 10, 2015 por danielcajueiro
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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,566 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Note que \(||u+v||^2 = (u+v,u+v) = |u|^2+|v|^2+2(u,v)\).

Usando a desigualdade Cauchy-Schwarz \((u,v)\le|(u,v)|\le||u|| ||v||\), temos que \(||u+v||^2\le||u||^2+||v||^2+2||u||||v|| = (||u||+||v||)^2\). Logo \(||u+v||\le ||u||+||v||\).

comentou Dez 4, 2017 por João Vitor Borges (1 ponto)  
Professor,

Não entendi essa parte: ||u+v||2≤||u||2+||v||2+2||u||||v||=(||u||+||v||)2. Especificamente, não entendi a igualdade.
comentou Dez 4, 2017 por danielcajueiro (5,566 pontos)  
O binômio quadrático? Vc deve ter aprendido no ensino médio, não? É essa a dúvida?
comentou Fev 4 por clara (1 ponto)  
professor, existe alguma razão pela qual você usou || em alguns momentos e | em outros?
comentou Fev 7 por danielcajueiro (5,566 pontos)  
||x|| é a norma de x. Estou assumindo que x é um vetor.

|x| é o valor absoluto de x. Estou assumindo que x é um número.

Aplico | . | no resultado de um produto interno que é um número e aplico || . || em vetores e soma de vetores (que por sua vez é um vetor também).
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