Note que \(||u+v||^2 = (u+v,u+v) = |u|^2+|v|^2+2(u,v)\).
Usando a desigualdade Cauchy-Schwarz \((u,v)\le|(u,v)|\le||u|| ||v||\), temos que \(||u+v||^2\le||u||^2+||v||^2+2||u||||v|| = (||u||+||v||)^2\). Logo \(||u+v||\le ||u||+||v||\).
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