Question

Como mostrar a desigualdade triangular em espaços com produto interno?

Answer 1

Note que \(||u+v||^2 = (u+v,u+v) = |u|^2+|v|^2+2(u,v)\).

Usando a desigualdade Cauchy-Schwarz \((u,v)\le|(u,v)|\le||u|| ||v||\), temos que \(||u+v||^2\le||u||^2+||v||^2+2||u||||v|| = (||u||+||v||)^2\). Logo \(||u+v||\le ||u||+||v||\).

Comments

Professor,

Não entendi essa parte: ||u+v||2≤||u||2+||v||2+2||u||||v||=(||u||+||v||)2. Especificamente, não entendi a igualdade.

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O binômio quadrático? Vc deve ter aprendido no ensino médio, não? É essa a dúvida?

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professor, existe alguma razão pela qual você usou || em alguns momentos e | em outros?

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||x|| é a norma de x. Estou assumindo que x é um vetor.

|x| é o valor absoluto de x. Estou assumindo que x é um número.

Aplico | . | no resultado de um produto interno que é um número e aplico || . || em vetores e soma de vetores (que por sua vez é um vetor também).