Question

Olá, como faço para provar que um conjunto não é convexo, por exemplo : S={d pertence ao R^2 tal que d>=0, d'd''=0}

Answer 1

Parta da definição de um conjunto convexo. Um conjunto \(S\) é convexo se \(\forall a,b \in S, t \in [0,1], at+b(1-t) \in S \). Logo, para mostrar que um conjunto não é convexo, basta mostrar que existem \(a^*, b^* \in S, t^* \in [0,1]\) tais que \(ta^*+(1-t)b^* \not \in S\). Nesse caso, os únicos elementos no seu conjunto S são múltiplos de (0,1) e (1,0), não? Então creio que seria convexo? Ou não entendi muito o que você quis dizer com d' e d".

Comments

Olá, d' e d'' são coordenadas de d=(d', d'') eu coloquei  aspas, porque não sei colocar índices.

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Nesse exemplo, eu poderia mostrar por absurdo que S é um cone convexo ? daí eu pegaria dois vetores u e v, aplicaria em (1-t)x+ty e daí chegaria em uma expressão que seria diferente de 0. Logo eu teria um absurdo.

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Sim, porque aí você achou uma combinação convexa que não está no conjunto. Basta pegar (1,0) e (0,1), pegar t=1/2 e perceber que (1/2,1/2) não está no conjunto.
By the way, essa é a demonstração por contrapositiva. Para ser por contradição, você teria que encontrar alguma expressão que implique em alguma impossibilidade matemática (do tipo -> Falso).

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Há sim, valeu. Você saberia dizer como ficaria geometricamente ? isso é um cone, mas por se tratar de convexidade não consigo visualizar geometricamente.

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O conjunto seriam todos os pontos no eixo x do plano cartesiano e todos os pontos no eixo y do plano cartesiano. Fica claro que pegar um ponto entre os dois planos sai pra fora do conjunto, e logo ele não é convexo.