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Responda a questão sobre o conjunto

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perguntada Dez 5, 2020 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  
  1. Considere o conjunto \(S\) no \(\mathbb{R}^2\) (plano) dado que satisfaz a seguinte equação
    \(|x|+|y|\ge 1\).

Marque a alternativa VERDADEIRA:

(a) O conjunto \(S\) é limitado.

(b) O conjunto \(S\) é fechado.

(c) O conjunto \(S\) é compacto.

(d) O conjunto \(S\) é aberto.

(e) Toda função contínua definida em \(S\) possui máximo e mínimo global.

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2 Respostas

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respondida Dez 6, 2020 por Stuart Mill (1,364 pontos)  
selecionada Dez 6, 2020 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

(a) Considerando a norma do \(\mathbb{R}^2\), o conjunto será limitado se existe \(r>0\) tal que para todo \(s, t\) em S, \(d(s,t)< r\). Seja \(s=(0,1) \in S\) e \(t = (r+1, r+1) \in S \). \(d(s,t) = \sqrt{(r+1)^2 + (r+1)^2} > r \iff \sqrt{2}(r+1)> r \rightarrow V\). Logo, o conjunto não é limitado.
(b) \(S^C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: |x|+|y| < 1\}\). Seja \( (a,b) \in S^C\) e \(d =1-|a|-|b|\). A bola aberta de raio \(d/4\) está em \(S^C\) portanto este conjunto é aberto. Complementar de um conjunto aberto é fechado, logo \(S\) é fechado.
(c) Teorema de Heine-Borel diz que um conjunto é compacto no \(\mathbb{R}^n\) se e somente se é fechado e limitado. Como \(S\) não é limitado, também não é compacto.
(d) \(S\) é aberto.
(e) Seja \(f: S \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x,y) = x\). Suponha por contradição que \((x^*, y^*) \in S\) é máximo global. Seja \( d = (|x^*| + 1, |y^*| + 1) \implies |d| \in S.\) Mas \(f(d) =|x^*| +1\). Por hipótese, \( (x^*, y^*) \in S\) é máximo global. Então \( f(x^*, y^*) = x^* \ge |x^*| + 1 \implies 1 \le x^* - |x^*| \le 0 \implies 1 \le 0\), contradição. Logo, falso.

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respondida Dez 5, 2020 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Note que a única resposta verdadeira é a (b).

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