Solução
Queremos concluir que \(K = L\). Como \(L \subset K\) por hipótese, basta mostrar a inclusão reversa. Se \(dim L = dim K = n \), então toda base \(V = \{v_1, ..., v_n \}\) de \(L\) é um subconjunto linearmente independente (LI) de \(K\) com \(n\) elementos, logo, pelo corolário (provado no apêndice), gera \(K\). Logo, todo elemento de \(K\) se escreve como combinação linear de \(V \subset L\), logo, \(K \subset L\).
Apêndice
Antes de provarmos o corolário citado na solução, precisamos provar o teorema que lhe dá origem. Para provar este, começamos com um lema.
Lema. Todo sistema linear homogêneo que tem mais variáveis do que equações possui uma solução não trivial
Prova(por indução): No caso trivial (coeficientes do sistema são todos nulos), qualquer vetor \((x_1, \cdots, x_n\)) é solução. Considere o sistema não-trivial de \(m\) equações a \(n\) incógnitas, com \(m \lt n\),
\[\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0
\end{array}\]
Se \(m=1\), o sistema se reduz a \(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0\). Por ser não trivial, existe algum coeficiente não-nulo, que podemos supor ser \(a_{1n}\), sem perda de generalidade, e reescrever:
\[ x_n = -\left(\frac{a_{11}}{a_{1n}} x_1 +\cdots+\frac{a_{1n-1}}{a_{1n}} x_{n-1} \right)\]
Assim, escolhemos valores para \(x_1,\cdots,x_{n-1}\), que por fim determinam \(x_n\). Então existe uma solução não trivial. Como passo de indução, suponha que existe uma solução não-trivial para o caso de \({m-1}\) equações a \({n-1}\) variáveis e considere novamente o sistema original \(m \times n\). Existe ali algum coeficiente diferente de zero, pois o sistema é não trivial, e sem perda de generalidade suporemos ser \(a_{mn}\) (se não fosse, poderíamos reescrever as variáveis de modo a validar essa escolha). Então isolamos \(x_n\) como fizemos anteriormente, obtendo
\[ x_n = -\left(\frac{a_{m1}}{a_{mn}} x_1 +\cdots+\frac{a_{mn-1}}{a_{mn}} x_{n-1} \right)\]
Substituindo \(x_n\) nas equações anteriores, obtemos um sistema \({m-1} \times {n-1}\), que, por hipótese de indução, admite solução não trivial.
Teorema. Se um conjunto \(U = \{u_1,\dots, u_n \}\) gera o espaço vetorial \(K\), então qualquer conjunto com mais de \(n\) vetores é linearmente dependente (LD).
prova: seja \(V = \{v_1,\dots, v_m \}\) um conjunto gerador de \(K\), com \( n \lt m \). Queremos mostrar que \(V\) é um conjunto LD, ou seja, encontrar coeficientes \(\{x_1, \dots, x_m\}\), não todos nulos, tais que
\[x_1 v_1 + \dots+ x_n v_m = 0 \qquad (*)\].
Como \(U\) gera \(K\), escrevemos \(v_j = \alpha_{1j} u_1 + ... + \alpha_{nj} u_n\) para \(j = 1, \dots, m\) e substituimos em \((*)\):
\[\begin{array}{l}
x_1 (\alpha_{11} u_1 + \cdots + \alpha_{n1} u_n) \qquad+ \\
x_2 (\alpha_{12} u_1 + \cdots + \alpha_{n2} u_n) \qquad+ \\
\vdots \\
x_n (\alpha_{1m} u_1 + \cdots + \alpha_{nm} u_n)=0
\end{array}\]
Agrupando os coeficientes de cada elemento de \(U\), vem:
\[(\alpha_{11} x_1+ \cdots+ \alpha_{1m} x_m) u_1 +(\alpha_{21} x_1+\cdots+ \alpha_{2m} x_m) u_2+\\
+\cdots+ (\alpha_{n1} x_1 + \dots+ \alpha_{nm} x_m) \,u_n = 0\]
Sabemos que uma solução para essa equação ocorre quando os termos entre parênteses se anulam, ou seja, quando o seguinte sistema homogêneo tem solução:
\[\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{m}=0 \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{m}=0 \\
\vdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{m}=0
\end{array}\]
Como \(n \lt m\), o sistema tem mais incógnitas do que equações, logo o lema garante que existe uma solução não trivial \(\{x_1, \dots, x_m\}\).
Corolário. Se a dimensão de \(K\) é igual a \(n\), então um conjunto com \(n\) vetores gera \(K\) se e somente se, é linearmente independente.
Prova: seja \(n\) a dimensão de \(K\) e \(X = \{v_1,\dots,v_n\} \subset K\) um conjunto gerador. Suponha, por absurdo, que \(X\) é LD. Então existe um \(v_k \in X\) combinação linear dos demais, logo \( X \backslash \{v_k\}\), que possui \(n-1\) elementos, ainda geraria \(K\). Mas toda base de \(K\) tem \(n\) elementos, então o teorema nos forçaria a concluir que esta base é LD; Absurdo. Reciprocramente, se \(X\) é LI mas não gera \(K\), então existe \(v \in K\) que não é combinação linear dos elementos de \(X\), logo \(X \cup \{v\}\) é LI. Mas toda base de \(K\) (por definição um conjunto LI e gerador) tem \(n\) vetores, então, pelo teorema, ela seria LD. Absurdo.
nota: evitei usar somatórios para facilitar o entendimento, ainda que em prejuízo da estética e concisão.