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Mostre que esses passos do Processo Modificado de Gram-Schmidt produzem o mesmo vetor C que na equação (10):

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perguntada Fev 15 em Matemática por Igor Chiasso Marques (6 pontos)  
editado Fev 15 por Igor Chiasso Marques

\(C^* = c - (q_1^T c)q_1 \) e
\(C = C^* - (q_2^T C^*)q_2\)
Isso é muito mais estável, do que subtrair as projeções uma por vez

Problema número 19 da seção 3.4 do caítulo 3 do livro do Linear Algebra and its applications (4a ed, 2005) do Gilbert Strang

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1 Resposta

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respondida Fev 15 por Igor Chiasso Marques (6 pontos)  

Conforme consta no capítulo 3 do livro, a formulação comum de Grand-Schmidt para o espaço \(R^3\) é a seguinte:

Dados 3 vetores independentes quaisquer a, b e c, queremos os vetores \( q_1, q_2\ e\ q_3 \) que são ortonormais.

Para o primeiro vetor, \( q_1\), o procedimento é simples, apenas normalizando-o:
\(q_1 = a/||a|| \)

Já \(q_2\), deve ser ortogonal a \(q_1\). Se ele possuir qualquer componente na direção de \(q_1\), este deve ser subtraido:

\(B = b - (q_1^Tb)q_1\), com B sendo ortogonal a
\(q_2 = B/||B||\)

Por fim, \(q_3\) não poderá estar no plano formado pela base \(q_1\ e\ q_2\). Caso contenha qualquer compnente neste plano, este deve ser subtraído:

\(C = c - (q_1^Tc)q_1 - (q_2^Tc)q_2\), com C sendo ortogonal \(q_1\ e\ q_2\)
\(q_3 = C/||C||\)

Pela questão, deve-se provar que o processo abaixo produzirá o mesmo vetor C que o mostrado acima:

\(C^* = c - (q_1^T c)q_1\) (1)
\(C = C^* - (q_2^T C*)q_2\) (2)

Para isso, simplesmente substituímos \(C^*\) de (1) em (2) e expandimos:

\(C = c - (q_1^T c)q_1 - q_2^T[c - (q_1^T c)q_1]q_2\)
\(C = c - (q_1^T c)q_1 - (q_2^Tc)q_2 + q_2^T(q_1^T c)q_1q_2\) (3)
Chamando de \( \alpha = (q_1^T c)= \lt q_1^T,c \gt \), sendo uma constante, podemos reescrever (3):
\(C = c - (q_1^T c)q_1 - (q_2^Tc)q_2 + q_2^T \alpha q_1q_2\)
\(C = c - (q_1^T c)q_1 - (q_2^Tc)q_2 + \alpha q_2^T q_1q_2\) (comutatividade do produto de escalar com vetores)

Como \(q_1\ e\ q_2\) são ortogonais entre si, logo \(q_2^T q_1 = 0\), zerando o último termo \( \alpha q_2^T q_1q_2\)

Logo, o restante fica:
\(C = c - (q_1^T c)q_1 - (q_2^Tc)q_2 \)

Que é a mesma fórmula para o terceiro vetor ortogonal no processo clássico de Grand-Schmidt

comentou Mai 18 por João Pedro Mussi (31 pontos)  
Parabéns pela resposta Igor! Acredito que esteja correta e bem completa. Adiciono que esse processo é mais estável do que substituir as projeções pois os vetores \(q_k\) muitas vezes não são sempre ortogonais quando é utilizado em dados por conta de erros de arrendodamento. Essa perda de ortogonalidade é ruim  tornando o processo numericamente instavél. Logo, para reduzir esse problema é feita a substituição proposta no enunciado que possibilita o mesmo resultado com e erros aritméticos menores.
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