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Projeção linear ortogonal em dois subespaços de \(\mathbb{R}^{n}\) , em que um dos subespaços está contido no outro.

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perguntada Fev 19 em Matemática por Ricardo Saldanha (1 ponto)  

[Adaptada de: Stachurski, J. (2016). A Primer in Econometric Theory - Exc. 2.4.28] Gostaria de demonstrar formalmente o fato descrito abaixo:
Seja \(S_{i}\) um subespaço linear não vazio de \(\mathbb{R}^{n}\) para i=1,2 e seja \(P_{i}~=~proj~S_{i}\) (i.e., a projeção linear ortogonal de \(S_{i}\)). Se \(S_{1} \subset S_{2}\), então
\(P_{1}P_{2}y = P_{2}P_{1}y = P_{1}y\) \(\forall \: y \in \mathbb{R}^{n}\).

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1 Resposta

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respondida Fev 19 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  

Primeiramente, apresentemos uma versão do Teorema de Projeção Ortogonal [Adaptado de: Stachurski, J. (2016). A Primer in Econometric Theory]:
Teorema de Projeção Ortogonal (T.P.O.) Seja \(y \in \mathbb{R}^{n}\) e \(S\) um subespaço qualquer de \(\mathbb{R}^{n}\). E seja \(P_{i}~=~proj~S_{i}\). As seguintes afirmações são verdadeiras:
(i) \(P\) é uma função linear;
(ii) \(Py \in S\);
(iii) \((y - Py) \in S^{\perp}\);
(iv) \(\lVert y\rVert^{2}=\lVert Py\rVert^{2}+\lVert y-Py \lVert^{2}\);
(v) \(\lVert Py\rVert \lt= \lVert y\rVert\);
(vi) \(Py=y\) se, e somente se, \(y \in S\);
(vii) \(Py=0\) se, e somente se, \(y \in S^{\perp}\).

Não cabe aqui provar o teorema, mas é interessante termos a intuição dos dois últimos itens, que são importantes para a demostração do fato.
Pense na projeção de um objeto sobre uma superfície como a sombra formada por este objeto e uma fonte de luz perpendicular à superfície.
A imagem será apresentada aqui.
A sombra de um objeto que já está na superfície coincide com as dimesões do objeto. Isso dá sentido ao item (vi). Ao passo que uma haste perpendicular à superfície não produz sombra, o que nos dá a intuição do item (vii).

Demonstremos o fato enunciado na pergunta:

2º e 3º termos: \(P_{2}P_{1}y = P_{1}y\)

Pelo T.P.O - item (ii), a projeção \(P_{1}y \in S_{1}\). Logo, como \(S_{1} \subset S_{2}\) por hipótese, \(P_{1}y \in S_{2}\). E, conforme a recíproca de T.P.O - item (vi), \(P_{1}y \in S_{2}\) implica \(P_{2}P_{1}y = P_{1}y\).

1º e 3º termos: \(P_{1}P_{2}y = P_{1}y\), o que completará as igualdades postuladas no fato.

Pelo T.P.O - item (iii), \((y - P_{2}y) \in S_{2}^{\perp}\). Assim, \(\langle y - P_{2}y,y \rangle=0\) para todo \(y \in S_{2}\) e, dado que \(S_{1} \subset S_{2}\), em particular para todo \(y \in S_{1}\). Logo \((y - P_{2}y) \in S_{1}^{\perp}\) (vd. fig. abaixo). Portanto, usando o T.P.O - item (vii), \(P_{1}(y - P_{2}y)=0\).
Manipulando o resultado acima temos
\(P_{1}(y - P_{2}y)=0\)
\(P_{1}y - P_{1}P_{2}y=0\)
\(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\)
Q.E.D.

A questão já está respondida. Em complemento, tentemos visulizar a igualdade \(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\), cuja intituição é menos direta que a primeira igualdade demonstrada.
Tomemos um exemplo de um plano em \(\mathbb{R}^{3}\), representando \(S_{2}\), e uma reta contida nesse plano, que seria \(S_{1}\).
Na imagem abaixo é fácil ver que \((y - P_{2}y) \in S_{1}^{\perp}\), de onde se chega rapidamente à igualdade desejada, através das manipulações simples mostradas acima.
A imagem será apresentada aqui.
Digamos, no entanto, que não estamos satisfeitos em ilustrar apenas a perpendicularidade da qual decorre o resultado final. Queremos visualizar no exemplo \(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\) de forma direta.
A imagem será apresentada aqui.
Começemos olhando para a projeção direta de y sobre a reta, que é \(P_{1}y\). Sendo uma projeção, \(y-P_{1}y\) forma um ângulo reto com \(P_{1}y\), no plano (não representado) que contém ambos. Assim, a projeção do vetor \(y-P_{1}y\) sobre \(S_{2}\) formará, neste plano, um ângulo reto com \(P_{1}y\) (imagine \(y-P_{1}y\) "caindo" sobre o plano; o ângulo reto com \(P_{1}y\) se mantém). Note, porém, que essa projeção de \(y-P_{1}y\) sobre o plano é o vetor \(P_{2}y-P_{1}y\), ou seja, o segmento que liga \(P_{1}y\) e \(P_{2}y\). E o fato de esse seguimento ser ortgonal à \(P_{1}y\) (e, portanto, à reta \(S_{1}\)) significa que \(P_{1}y\) é justamente a projeção de \(P_{2}y\) sobre \(S_{1}\), i.e., \(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\).

comentou Mai 21 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
Creio que a resolução foi espetacular, tanto do ponto de vista de formalidade matemática quanto da intuição geométrica do problema. Não consigo ver pontos que podem ser melhorados.

Tenho duas perguntas que não são nem um pouco críticas, mas devaneios. A primeira é como foram feitas as imagens utilizadas? A segunda seria se esse teorema tem alguma aplicação direta em econometria?
comentou Mai 22 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  
Muito obrigado, Nagata.
Essas figuras foram feitas num programinha chamado WinPlot. Acredito que ele já esteja ultrapassado. Mas eu estava tendo dificuldades em representar vetores no Python. Para gráficos rápidos em 2D eu gosto muito do https://www.desmos.com/calculator?lang=pt-BR.
Já não gosto tanto (ou não sei mexer direito) das plataformas parecidas 3D:
https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/index.html
https://www.geogebra.org/3d?lang=pt
Sobre a aplicação, eu não conseguiria pensar sozinho. Mas vi no livro agora que esse fato pode ser usado para provar a Lei de Expectativas Iteradas (cap. 5,p.152), pra qual é mais fácil imaginar aplicações.  E também faz parte de uma etapa (deixada como exercício) da prova do Teorema 12.1.7 (p.337), que basicamente estabelece o Teste F.
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