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Projeção linear ortogonal em dois subespaços de \(\mathbb{R}^{n}\) , em que um dos subespaços está contido no outro.

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perguntada Fev 19 em Matemática por Ricardo Saldanha (1 ponto)  

[Adaptada de: Stachurski, J. (2016). A Primer in Econometric Theory - Exc. 2.4.28] Gostaria de demonstrar formalmente o fato descrito abaixo:
Seja \(S_{i}\) um subespaço linear não vazio de \(\mathbb{R}^{n}\) para i=1,2 e seja \(P_{i}~=~proj~S_{i}\) (i.e., a projeção linear ortogonal de \(S_{i}\)). Se \(S_{1} \subset S_{2}\), então
\(P_{1}P_{2}y = P_{2}P_{1}y = P_{1}y\) \(\forall \: y \in \mathbb{R}^{n}\).

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1 Resposta

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respondida Fev 19 por Ricardo Saldanha (1 ponto)  

Primeiramente, apresentemos uma versão do Teorema de Projeção Ortogonal [Adaptado de: Stachurski, J. (2016). A Primer in Econometric Theory]:
Teorema de Projeção Ortogonal (T.P.O.) Seja \(y \in \mathbb{R}^{n}\) e \(S\) um subespaço qualquer de \(\mathbb{R}^{n}\). E seja \(P_{i}~=~proj~S_{i}\). As seguintes afirmações são verdadeiras:
(i) \(P\) é uma função linear;
(ii) \(Py \in S\);
(iii) \((y - Py) \in S^{\perp}\);
(iv) \(\lVert y\rVert^{2}=\lVert Py\rVert^{2}+\lVert y-Py \lVert^{2}\);
(v) \(\lVert Py\rVert \lt= \lVert y\rVert\);
(vi) \(Py=y\) se, e somente se, \(y \in S\);
(vii) \(Py=0\) se, e somente se, \(y \in S^{\perp}\).

Não cabe aqui provar o teorema, mas é interessante termos a intuição dos dois últimos itens, que são importantes para a demostração do fato.
Pense na projeção de um objeto sobre uma superfície como a sombra formada por este objeto e uma fonte de luz perpendicular à superfície.
A imagem será apresentada aqui.
A sombra de um objeto que já está na superfície coincide com as dimesões do objeto. Isso dá sentido ao item (vi). Ao passo que uma haste perpendicular à superfície não produz sombra, o que nos dá a intuição do item (vii).

Demonstremos o fato enunciado na pergunta:

2º e 3º termos: \(P_{2}P_{1}y = P_{1}y\)

Pelo T.P.O - item (ii), a projeção \(P_{1}y \in S_{1}\). Logo, como \(S_{1} \subset S_{2}\) por hipótese, \(P_{1}y \in S_{2}\). E, conforme a recíproca de T.P.O - item (vi), \(P_{1}y \in S_{2}\) implica \(P_{2}P_{1}y = P_{1}y\).

1º e 3º termos: \(P_{1}P_{2}y = P_{1}y\), o que completará as igualdades postuladas no fato.

Pelo T.P.O - item (iii), \((y - P_{2}y) \in S_{2}^{\perp}\). Assim, \(\langle y - P_{2}y,y \rangle=0\) para todo \(y \in S_{2}\) e, dado que \(S_{1} \subset S_{2}\), em particular para todo \(y \in S_{1}\). Logo \((y - P_{2}y) \in S_{1}^{\perp}\) (vd. fig. abaixo). Portanto, usando o T.P.O - item (vii), \(P_{1}(y - P_{2}y)=0\).
Manipulando o resultado acima temos
\(P_{1}(y - P_{2}y)=0\)
\(P_{1}y - P_{1}P_{2}y=0\)
\(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\)
Q.E.D.

A questão já está respondida. Em complemento, tentemos visulizar a igualdade \(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\), cuja intituição é menos direta que a primeira igualdade demonstrada.
Tomemos um exemplo de um plano em \(\mathbb{R}^{3}\), representando \(S_{2}\), e uma reta contida nesse plano, que seria \(S_{1}\).
Na imagem abaixo é fácil ver que \((y - P_{2}y) \in S_{1}^{\perp}\), de onde se chega rapidamente à igualdade desejada, através das manipulações simples mostradas acima.
A imagem será apresentada aqui.
Digamos, no entanto, que não estamos satisfeitos em ilustrar apenas a perpendicularidade da qual decorre o resultado final. Queremos visualizar no exemplo \(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\) de forma direta.
A imagem será apresentada aqui.
Começemos olhando para a projeção direta de y sobre a reta, que é \(P_{1}y\). Sendo uma projeção, \(y-P_{1}y\) forma um ângulo reto com \(P_{1}y\), no plano (não representado) que contém ambos. Assim, a projeção do vetor \(y-P_{1}y\) sobre \(S_{2}\) formará, neste plano, um ângulo reto com \(P_{1}y\) (imagine \(y-P_{1}y\) "caindo" sobre o plano; o ângulo reto com \(P_{1}y\) se mantém). Note, porém, que essa projeção de \(y-P_{1}y\) sobre o plano é o vetor \(P_{2}y-P_{1}y\), ou seja, o segmento que liga \(P_{1}y\) e \(P_{2}y\). E o fato de esse seguimento ser ortgonal à \(P_{1}y\) (e, portanto, à reta \(S_{1}\)) significa que \(P_{1}y\) é justamente a projeção de \(P_{2}y\) sobre \(S_{1}\), i.e., \(P_{1}y=P_{1}P_{2}y\).

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