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Como resolver a questão 6 do Cap. 1 do livro Linear Algebra, George E. Shilov?

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perguntada Fev 22 em Matemática por Tales Lins Costa (1 ponto)  
editado 3 dias atrás por Tales Lins Costa

Os números 20604, 53227, 25755, 20927 e 78421 são divisíveis por 17. Mostre que o determinante

\begin{vmatrix}
2 & 0 & 6 & 0 & 4 \\
5 & 3 & 2 & 2 & 7 \\
2 & 5 & 7 & 5 & 5 \\
2 & 0 & 9 & 2 & 7 \\
7 & 8 & 4 & 2 & 1
\end{vmatrix}

também é divisível por 17.

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1 Resposta

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respondida Fev 22 por Tales Lins Costa (1 ponto)  
editado Fev 23 por Tales Lins Costa

Para responder à esta pergunta faremos um exercício de Python ao mesmo tempo em que utilizaremos os próprios conceitos abordados no livro Linear Algebra, do Geoge E. Shilov.

Primeiramente vamos importar a biblioteca Numpy, recomendada para trabalhar com Algebra Linear.

import numpy as np

Em seguida, vamos nomear o determinante da matriz de "a" e de igual forma tome um outro determinante "b", onde a=b, logo

a = np.array([[2,0,6,0,4], 
              [5,3,2,2,7], 
              [2,5,7,5,5], 
              [2,0,9,2,7], 
              [7,8,4,2,1]])

b = np.array([[2,0,6,0,4], 
              [5,3,2,2,7], 
              [2,5,7,5,5], 
              [2,0,9,2,7], 
              [7,8,4,2,1]])


print(a) #Matriz a
print(np.linalg.det(a)) #Determinante da Matriz a

print(b) #Matriz b
print(np.linalg.det(b)) #Determinante da Matriz b

Para mostrar que esse determinante do problema é divisível por 17 vamos realizar algumas operações. Na matriz "a", multiplique a primeira coluna por \(10^4\), a segunda coluna por \(10^3\), a terceira coluna por \(10^2\) e a quarta coluna por \(10^1\). Por fim, some as quatro primeiras colunas e adicione na coluna final. Para realizar esses cálculos no Python basta fazer a seguinte programação:

a[:, 0] = a[:, 0]*10**4
a[:, 1] = a[:, 1]*10**3
a[:, 2] = a[:, 2]*10**2
a[:, 3] = a[:, 3]*10
a[:, 4] = (a[:, 4] + a[:, 0] + a[:, 1] + a[:, 2] + a[:, 3])

Fazendo

print(a)

Obtemos o seguinte determinante

\begin{vmatrix}
20000 & 0 & 600 & 0 & 20604 \\
50000 & 3000 & 200 & 20 & 53227 \\
20000 & 5000 & 700 & 50 & 25755 \\
20000 & 0 & 900 & 20 & 20927 \\
70000 & 8000 & 400 & 20 & 78421
\end{vmatrix}

Da mesma forma, faça o mesmo procedimento em b, logo

b[:, 0] = b[:, 0]*10**4
b[:, 1] = b[:, 1]*10**3
b[:, 2] = b[:, 2]*10**2
b[:, 3] = b[:, 3]*10
b[:, 4] = (b[:, 4] + b[:, 0] + b[:, 1] + b[:, 2] + b[:, 3])

Fazendo

print(b)

Temos o seguinte determinante

\begin{vmatrix}
20000 & 0 & 600 & 0 & 20604 \\
50000 & 3000 & 200 & 20 & 53227 \\
20000 & 5000 & 700 & 50 & 25755 \\
20000 & 0 & 900 & 20 & 20927 \\
70000 & 8000 & 400 & 20 & 78421
\end{vmatrix}

Para conferir se não houve nenhum erro de programação, basta conferir os determinantes com "==", assim, faça:

print(np.linalg.det(a)==np.linalg.det(b))

Se não houver nenhum problema, você vai obter "True" no console.

Dessa forma, pelo Corolário 1.45 (Pg. 11 do livro), sabemos que qualquer fator comum de uma coluna de um determinante pode ser fatorado para fora do determinante. Para mostrar que o determinante dessa matriz "a" é divisível por 17, basta mostrar que uma das colunas tem esse termo em comum e que ele pode ser fatorado para fora do determinante. Pelo o enunciado, sabemos que a quinta coluna inteira é divisível por 17. Dessa forma, basta dividir a última coluna por 17, logo:

b[:, 4] = b[:, 4]/17

Fazendo

print(b)

Obtemos a nova matriz "b"

\begin{vmatrix}
20000 & 0 & 600 & 0 & 1212 \\
50000 & 3000 & 200 & 20 & 3131 \\
20000 & 5000 & 700 & 50 & 1515\\
20000 & 0 & 900 & 20 & 1231 \\
70000 & 8000 & 400 & 20 & 4613
\end{vmatrix}

Dessa forma, obtemos a seguinte relação:

\begin{align}
\begin{vmatrix}
a \end{vmatrix} =
17 *
\begin{vmatrix}
b
\end{vmatrix}
\end{align}

O que pode ser confirmado fazendo:

print(round(np.linalg.det(a))==round(np.linalg.det(b)*17
))

Assim, obtemos "True" no console, então está verificada essa relação.

(Observe que a função foi arredondada, pois ao dividirmos por 17 e depois multiplicarmos por 17, o resultado apresenta uma diferença mínima no resultado, e portanto, precisou-se aplicar o round())

Portanto, provamos que o determinante

\begin{vmatrix}
2 & 0 & 6 & 0 & 4 \\
5 & 3 & 2 & 2 & 7 \\
2 & 5 & 7 & 5 & 5 \\
2 & 0 & 9 & 2 & 7 \\
7 & 8 & 4 & 2 & 1
\end{vmatrix}

é divisível também por 17.

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