Primeiro devemos lembrar das definições de função linear e de subespaço linear de \(\mathbb{R}^N\).
DEF1: \(T: \mathbb{R}^K \rightarrow \mathbb{R}^N\) é uma função linear se \[T( \alpha x+ \beta y) = \alpha T x + \beta T y, \ \forall \ x, y \in \mathbb{R}^K \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R}.\]
DEF2: Um subconjunto não-vazio S de \( \mathbb{R}^N \) é chamado um subespaço linear de \( \mathbb{R}^N \) se \[ x, y \in S \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha x + \beta y \in S.\]
Prova:
\(i)\) Defina \(x, y \in E \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R}\). Logo:
\[x \in E \Rightarrow Tx = \lambda x \] \[y \in E \Rightarrow Ty= \lambda y \]
\(ii)\) Defina também \( z=\alpha x + \beta y\). E, se \(z \in E \Rightarrow Tz = \lambda z. \)
Pelo enunciado da questão sabemos que T é função linear, e pela DEF1 temos: \[T( \alpha x+ \beta y) = \alpha T x + \beta T y = \alpha \lambda x + \beta \lambda y = \lambda (\alpha x + \beta y) = \lambda z = Tz.\]
Então \(Tz \in E\), e portanto, pela DEF2, \(E\) é subespaço linear de \(\mathbb{R}^N\).