Mostre que se \(T: \mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^N\) é uma função linear e \(\lambda\) é qualquer escalar, então \(E:\{x \in \mathbb{R}^N : Tx = \lambda x\}\) é um subespaço linear de \(\mathbb{R}^N\).

Question

Este é o exercício 2.4.13 do Capítulo 2 do Livro "A primer in Econometric Theory -John Stachurski".

Answer 1

Primeiro devemos lembrar das definições de função linear e de subespaço linear de \(\mathbb{R}^N\).

DEF1: \(T: \mathbb{R}^K \rightarrow \mathbb{R}^N\) é uma função linear se \[T( \alpha x+ \beta y) = \alpha T x + \beta T y, \ \forall \ x, y \in \mathbb{R}^K \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R}.\]
DEF2: Um subconjunto não-vazio S de \( \mathbb{R}^N \) é chamado um subespaço linear de \( \mathbb{R}^N \) se \[ x, y \in S \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha x + \beta y \in S.\]

Prova:

\(i)\) Defina \(x, y \in E \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R}\). Logo:
\[x \in E \Rightarrow Tx = \lambda x \] \[y \in E \Rightarrow Ty= \lambda y \]
\(ii)\) Defina também \( z=\alpha x + \beta y\). E, se \(z \in E \Rightarrow Tz = \lambda z. \)

Pelo enunciado da questão sabemos que T é função linear, e pela DEF1 temos: \[T( \alpha x+ \beta y) = \alpha T x + \beta T y = \alpha \lambda x + \beta \lambda y = \lambda (\alpha x + \beta y) = \lambda z = Tz.\]
Então \(Tz \in E\), e portanto, pela DEF2, \(E\) é subespaço linear de \(\mathbb{R}^N\).

Comments

Achei  interessante as definições terem sido revisadas e a resolução ter sido bem direta ao ponto. Não resolveria de forma diferente.  Ótima resolução! Vou colocar um exemplo  e um contraexemplo embaixo para ajudar na fixação do conceito pra quem não for do curso.
 Para: T: \(\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R}^N\)  definida como\( Tx= 5x\), \(T\) será  uma transformação linear,  pois  \(T(\alpha x+\beta y)=5(\alpha x+\beta y)=\alpha 5 x+\beta 5 y=\alpha T x+\beta T y\).

Já  \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida como  \(f(x)=4+3 x\),    não será uma função linear , pois, considerando  \(\alpha=\beta=x=y=1\), \(f(\alpha x+\beta y)=f(2)=10.\)

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Obrigada pelas contribuições, Maria Salete.

De fato, \(Tx= 5x\) é função linear e pertence a \( E:\{x \in \mathbb{R}^N : Tx = \lambda x\} \), com \( \lambda=5\). Além disso \(T(\alpha x+\beta y)=5(\alpha x+\beta y) \in E\) . Logo, é subespaço linear de \(\mathbb{R}^N\).

No caso do contra-exemplo, \(f(x)=4+3 x\) não é função linear e nem pertence ao espaço \(E:\{x \in \mathbb{R}^N : Tx = \lambda x\} \), pois teria um  \( \lambda=3\) adicionado de uma constante \(4\). Não obedece à lei de formação de E.

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Esse é um resultado interessante. Ele mostra que de fato o Autoespaço (o conjunto de todos autovetores associados a um autovalor) forma um subespaço vetorial.