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O que gerou esse Gram-Schimdt?

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perguntada Fev 27 em Matemática por Lucas Warwar (16 pontos)  

Busco uma resposta para o exercício 10 do Problem Set 3.4 do livro "Linear Algebra and Its Applications", 4ª edição, de Gilbert Strang.

A tradução do exercício, que se encontra na página 209 do livro, é a seguinte:

Se \(q_1\) e \(q_2\) são vetores gerados pelo processo de Gram-Schimdt, quais são os possíveis vetores iniciais \(a\) e \(b\)?

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1 Resposta

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respondida Fev 27 por Lucas Warwar (16 pontos)  

O processo de Gram-Schimdt toma \(k\) vetores quaisquer que formam uma base do \(\mathbb{R}^k \) e retorna uma base \({q_1, q_2, ..., q_k}\) ortonormal do \(\mathbb{R}^k \).

No contexto da pergunta, estamos no \(\mathbb{R}^2 \) e portanto sabemos que \(a\) e \(b\) podem ser quaiquer vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R^2}\), de modo que formem uma base.

Podemos melhorar nosso conhecimento sobre \(a\) e \(b\) explorando os passos do algoritimo do processo de Gram-Schimdt.

Primeiro, toma-se o primeiro vetor como dado e o normaliza, de modo a obter um vetor que possa ser parte de uma base ortonormal. Sem perda de generalidade, assumimos que \(a\) gera \(q_1\) e temos:

\[q_1 = \frac{a}{||a||} \Rightarrow a = \alpha q_1 ,\]

onde \(\alpha = ||a||\), \(\alpha \in \mathbb{R^{++}}\), já que \(||a|| \neq 0\) pois \(a\) e \(b\) são linearmente independentes.

Já para \(b\), sabemos que ele pode ser qualquer vetor em \(\mathbb{R^2}\) tal que \(a\) e \(b\) sejam linearmente independentes. Como \(q_1\) e \(q_2\) formam uma base do \(\mathbb{R^2}\), \(b\) pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores:

\[b \in span(q_1, q_2) \Rightarrow b = \beta_1q_1 + \beta_2q_2, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb{R} \]

Agora, para impor independência linear entre \(a\) e \(b\):

\[\theta_1(\beta_1q_1 + \beta_2q_2) + \theta_2\alpha q_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = \theta_2 = 0, \forall \theta_i \in \mathbb{R}, i = 1,2\]

Portanto, em resumo:

\(a = \alpha q_1\), para qualquer \(\alpha \in \mathbb{R}\)
\(b \in span(q_1, q_2)\) tal que \(b = \beta_1q_1 + \beta_2q_2, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb{R} \) e \(\alpha q_1\) sejam linearmente independentes.

comentou Mai 10 por João Pedro Heringer (21 pontos)  
Não sei dizer se a questão está certa ou errada, mas não consigo ver como \(a\) e \(b\) necessariamente são linearmente independentes pois:

\[\theta_1(\beta_1q_1+\beta_2q_2) +\theta_2\alpha q_1 = (\theta_1\beta_1+\theta_2\alpha)q_1 + \theta_1\beta_2 q_2\]

Como \(q_1\) e \(q_2\) são linearmente independentes, \((\theta_1\beta_1+\theta_2\alpha)q_1 + \theta_1\beta_2 q_2 = 0 \), se, e somente se:

\[\theta_1\beta_2=0\]
\[\theta_1\beta_1+\theta_2\alpha = 0\]

Dessa forma, podemos ter \(\beta_2 =0\) ou então \(\theta_1=-(\theta_2\alpha)/\beta_1\). Assim podemos ter uma combinação linear de \(a\) e \(b\) em que os coeficientes não sejam nulos mas o resultado é. Isso implica que podemos escolher \(\beta_1\) e \(\beta_2\) tal que \(a\) e \(b\) não sejam linearmente independentes.
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