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Seja \( A\) uma matriz \(2\times2\) com entradas racionais tal que \(\det(A^2-2I_2) = 0\). Mostre que \(A^2=2I_2\) e \(\det(A)=-2\). Dica: use o fato de \(A^2-2I_2=(A-\sqrt{2}I_2)(A+\sqrt{2}I_2)\) e considere o polinômio característico de \(A\).

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perguntada Fev 27 em Matemática por Thiago Trafane (21 pontos)  

Exercício 5 do Cap. 2, seção 2.2.1, do livro Essential linear algebra with applications, de Titu Andreescu.

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1 Resposta

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respondida Fev 27 por Thiago Trafane (21 pontos)  
editado Fev 27 por Thiago Trafane

Da propriedade da matriz \( A \) e da dica dadas no enunciado,
\( 0 = \det(A^2-2I_2) = \det[(A-\sqrt{2}I_2)(A+\sqrt{2}I_2)] \)
\( 0 =\det(A-\sqrt{2}I_2)\det(A+\sqrt{2}I_2) \)

Sendo \( A = [a_{ij}] \), note que
\( \det(A-\sqrt{2}I_2) = (a_{11}-\sqrt{2})(a_{22}-\sqrt{2}) - a_{12}a_{21} \)
\( \det(A-\sqrt{2}I_2) = a_{11}a_{22}-\sqrt{2}(a_{11}+a_{22}) + 2 - a_{12}a_{21} \)
\( \det(A-\sqrt{2}I_2) = [\det(A)+2] - \sqrt{2}(a_{11}+a_{22}) \)

\( \det(A+\sqrt{2}I_2) = [\det(A)+2] + \sqrt{2}(a_{11}+a_{22}) \)

Então,
\( 0 = \det(A-\sqrt{2}I_2)\det(A+\sqrt{2}I_2) = [\det(A)+2]^2 - 2(a_{11}+a_{22})^2\)
\( a_{11}+a_{22} = \pm \frac{\det(A)+2}{\sqrt{2}} \)

Se \( \det(A) \neq -2 \), o lado direito dessa expressão é irracional, pois \( \det(A) \) é racional dado que a matriz \( A \) tem entradas racionais. Ora, mas isso seria um absurdo, já que \( a_{11} \) e \( a_{22} \) são entradas da matriz A e, pois, são racionais. Logo, concluímos que \( \det(A) = -2 \) e, assim, \( a_{11} = - a_{22} \).

Resta calcular \( A^2 \). Usando que \( a_{11} = - a_{22} \),
\[ A^2 = \begin{bmatrix} -a_{22} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -a_{22} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]

\[ A^2 = \begin{bmatrix} a_{22}^2 + a_{12}a_{21} & -a_{22}a_{12}+a_{12}a_{22} \\ - a_{21}a_{22}+a_{22}a_{21} & a_{21}a_{12}+a_{22}^2 \end{bmatrix} \]

\[ A^2 = \begin{bmatrix} a_{22}^2 + a_{12}a_{21} & 0 \\ 0 & a_{22}^2 + a_{12}a_{21} \end{bmatrix} \]

Usando a propriedade da matriz \( A \) dada no enunciado e essa expressão,
\( 0 = \det(A^2-2I_2) = (a_{22}^2 + a_{12}a_{21}-2)^2 \)
\( a_{22}^2 + a_{12}a_{21} = 2 \)

Ou seja,

\( A^2 =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix} = 2I_2 \)

Em suma, \( A^2 = 2I_2 \) e \( \det(A) = -2 \), como queríamos demonstrar.

comentou Mai 14 por João Pedro Heringer (21 pontos)  
Achei muito interessante e completa a resolução. O item não pede para que necessariamente seja feita alguma referência ao polinômio característico de \(A\), mas eu fiquei curioso sobre qual seria a utilidade disso para a resolução e cheguei a algumas observações. Em primeiro lugar, é evidente que, se \(det(A^2-2I_2)=0\), então \(2\) é um autovalor de \(A^2\). Além disso, como temos que:

\[A=S^{-1}DS\Rightarrow A^2=S^{-1}D^2S\]

Onde \(S\) é a matriz de autovetores e \(D\) é a matriz diagonal de autovalores. Portanto, se \(\lambda\) é autovalor de \(A\), \(\lambda^2\) é autovalor de \(A^2\). Portanto, \(\sqrt{2}\) e \(-\sqrt{2}\) podem ser autovalores de \(A\). Supondo que os dois sejam, então temos que \(Tr(A)=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0\) e \(det(A)=(\sqrt{2})(-\sqrt{2})=2\). Se \(Tr(A)=0\), temos que, \(a_{11}=-a_{22}\) e, a partir disso, podemos terminar uma resolução da mesma forma. Entretanto, eu não consegui encontrar alguma forma de garantir que os autovalores de \(A\) sejam esses.
comentou Mai 15 por Thiago Trafane (21 pontos)  
João, obrigado pelo comentário!

Sobre a sua sugestão de demonstração, é correto afirmar que \( 2 \) é um autovalor de \( A^2 \), mas não podemos afirmar que as matrizes \( A \) e \( A^2 \) são diagonalizáveis, já que não há garantia a princípio de que os autovetores sejam linearmente independentes. Assim, penso que existe um problema já no começo da sua demonstração, antes da questão que você levantou. Tentei pensar em como resolver seguindo essa linha, mas não consegui nada.

Obs: acho que faltou um sinal de menos na sua resposta, quando você calcula o determinante de \( A \), pois o \( det(A) = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = -2 \).
comentou Mai 17 por João Pedro Heringer (21 pontos)  
Por nada.

Na verdade, eu não quis dar uma demonstração completa porque eu não consegui fazer isso a partir dos autovalores. O meu comentário foi sobre algumas observações que eu percebi!
comentou Mai 17 por Thiago Trafane (21 pontos)  
Sim, achei interessante essa alternativa que você sugeriu. Nem havia me atentado ao fato de \(2\) ser um autovalor de \(A^2\). Contudo, também não consegui fazer uma demonstração seguindo essa linha.
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