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Seja \( A\) uma matriz \(2\times2\) com entradas racionais tal que \(\det(A^2-2I_2) = 0\). Mostre que \(A^2=2I_2\) e \(\det(A)=-2\). Dica: use o fato de \(A^2-2I_2=(A-\sqrt{2}I_2)(A+\sqrt{2}I_2)\) e considere o polinômio característico de \(A\).

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perguntada Fev 27 em Matemática por Thiago Trafane (6 pontos)  

Exercício 5 do Cap. 2, seção 2.2.1, do livro Essential linear algebra with applications, de Titu Andreescu.

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1 Resposta

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respondida Fev 27 por Thiago Trafane (6 pontos)  
editado Fev 27 por Thiago Trafane

Da propriedade da matriz \( A \) e da dica dadas no enunciado,
\( 0 = \det(A^2-2I_2) = \det[(A-\sqrt{2}I_2)(A+\sqrt{2}I_2)] \)
\( 0 =\det(A-\sqrt{2}I_2)\det(A+\sqrt{2}I_2) \)

Sendo \( A = [a_{ij}] \), note que
\( \det(A-\sqrt{2}I_2) = (a_{11}-\sqrt{2})(a_{22}-\sqrt{2}) - a_{12}a_{21} \)
\( \det(A-\sqrt{2}I_2) = a_{11}a_{22}-\sqrt{2}(a_{11}+a_{22}) + 2 - a_{12}a_{21} \)
\( \det(A-\sqrt{2}I_2) = [\det(A)+2] - \sqrt{2}(a_{11}+a_{22}) \)

\( \det(A+\sqrt{2}I_2) = [\det(A)+2] + \sqrt{2}(a_{11}+a_{22}) \)

Então,
\( 0 = \det(A-\sqrt{2}I_2)\det(A+\sqrt{2}I_2) = [\det(A)+2]^2 - 2(a_{11}+a_{22})^2\)
\( a_{11}+a_{22} = \pm \frac{\det(A)+2}{\sqrt{2}} \)

Se \( \det(A) \neq -2 \), o lado direito dessa expressão é irracional, pois \( \det(A) \) é racional dado que a matriz \( A \) tem entradas racionais. Ora, mas isso seria um absurdo, já que \( a_{11} \) e \( a_{22} \) são entradas da matriz A e, pois, são racionais. Logo, concluímos que \( \det(A) = -2 \) e, assim, \( a_{11} = - a_{22} \).

Resta calcular \( A^2 \). Usando que \( a_{11} = - a_{22} \),
\[ A^2 = \begin{bmatrix} -a_{22} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -a_{22} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]

\[ A^2 = \begin{bmatrix} a_{22}^2 + a_{12}a_{21} & -a_{22}a_{12}+a_{12}a_{22} \\ - a_{21}a_{22}+a_{22}a_{21} & a_{21}a_{12}+a_{22}^2 \end{bmatrix} \]

\[ A^2 = \begin{bmatrix} a_{22}^2 + a_{12}a_{21} & 0 \\ 0 & a_{22}^2 + a_{12}a_{21} \end{bmatrix} \]

Usando a propriedade da matriz \( A \) dada no enunciado e essa expressão,
\( 0 = \det(A^2-2I_2) = (a_{22}^2 + a_{12}a_{21}-2)^2 \)
\( a_{22}^2 + a_{12}a_{21} = 2 \)

Ou seja,

\( A^2 =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix} = 2I_2 \)

Em suma, \( A^2 = 2I_2 \) e \( \det(A) = -2 \), como queríamos demonstrar.

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