Como resolver a questão 9 do capítulo 4, seção 4.2.1, do livro Essential Linear Algebra with Applications, de Titu Andreescu

Question

Seja \( V\) o conjunto de todas as sequências \( \{ x_n \}_{n \ge 0 }\) de números reais tais que:

\( x_{n+2} + nx_{n+1} - (n-1)x_{n} = 0 \)

para todo \( n \ge 0 \) . Prove que \( V \) é um subespaço do espaço de todas as sequências de números reais

Answer 1

Antes de tudo, convém relembrarmos a condição que caracteriza um conjunto como subespaço vetorial, consoante a definição a seguir:

Dado um espaço vetorial \( K \), dizemos que o conjunto \( U \subset K\) é um subespaço vetorial de \( K \) se, para quaisquer \(u, v \in U\), \( w = \alpha u + \beta v \) é tal que \( w \in U \hspace{0,15cm} \forall \hspace{0,15cm} \alpha, \beta \in \mathbb{R} \). Isto é, qualquer combinação linear de elementos de \( U \) continua pertencendo a \( U \)

Em particular, nosso candidato a subespaço é o conjunto \(V\) composto por todas as sequências \( \{ x_n \} \) de números reais tais que:

\( x_{n+2} + nx_{n+1} - (n-1)x_{n} = 0 \hspace{0,5cm} (1) \)

Tome, então, 2 elementos arbitrários de \(V\) . Isto é, sejam \( \{ y_n \} \in V \) e \( \{ z_n \} \in V \). Aplicando a equação \( (1) \) para essas sequências, temos:

\( y_{n+2} + ny_{n+1} - (n-1)y_{n} = 0 \hspace{0,5cm} (2) \)

\( z_{n+2} + nz_{n+1} - (n-1)z_{n} = 0 \hspace{0,5cm} (3) \)

Considere, agora, \( \{ w_n \} = \alpha \{ y_n \} + \beta \{ z_n \} \), \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \). Ou seja, o termo típico dessa sequência é dado por

\( w_n = \alpha y_n + \beta z_n \hspace{0,5cm} (4) \)

Nesse sentido, nosso objetivo é mostrar que \( \{ w_n \} \in V \). Para isso, vamos analisar a seguinte expressão:

\( w_{n+2} + nw_{n+1} - (n-1)w_{n} \hspace{0,5cm} (5) \)

Se \( \{ w_n \} \) pertencer a \( V \), a expressão acima deve, consoante a equação \( (1) \), ser igual a zero. Para notar isso, comecemos substituindo \((4)\) em \( (5) \):

\( ( \alpha y_{n+2} +\beta z_{n+2} ) + n( \alpha y_{n+1} +\beta z_{n+1} ) - (n-1)(\alpha y_n + \beta z_n) \hspace{0,5cm} (6) \)

Rearranjemos os termos de \( (6) \), separando os componentes de \( \{ y_n \} \) e \( \{ z_n \} \)

\( \alpha y_{n+2} + n \alpha y_{n+1} -(n-1) \alpha y_{n} + \beta z_{n+2} + n \beta z_{n+1} -(n-1) \beta z_{n} \)

\( \alpha [y_{n+2} + n y_{n+1} -(n-1) y_{n}] + \beta [z_{n+2} + n z_{n+1} -(n-1) z_{n}] \hspace{0,5cm} (7) \)

Agora basta substituir \( (2) \) e \( (3) \) em \( (7) \) :

\( \alpha 0 + \beta0 = 0 \)

Ou seja, mostramos que:

\( w_{n+2} + nw_{n+1} - (n-1)w_{n} =0 \)

\( \Rightarrow \{ w_n \} \in V \)

Portanto, como qualquer combinação linear de elementos de \( V \) continua pertencendo a \( V \) , concluímos que \( V \) é subespaço vetorial. Em particular, esse conjunto é subespaço do espaço de todas as sequências de números reais.

Observação

Em alguns casos, para checar se um conjunto \( X \) é, ou não, subespaço vetorial, é comum verificar primeiro a presença do vetor nulo, denotado por \( 0_{v} \). Assim, se \( 0_{v} \not \in X\), descartamos de imediato a possibilidade de \( X \) ser subespaço, pois isso violaria a hipótese de podermos multiplicar elementos de \( X \) por qualquer escalar \( \alpha \in \mathbb{R} \), inclusive \(\alpha = 0\), e ainda permanecer em \( X \)

Neste exercício, ao mostrarmos que qualquer combinação linear de elementos de \( V \) continua pertencendo a \( V \), ficou implícita a presença do vetor nulo. De fato, nesse caso, \( 0_{v} \) seria uma sequência constante de zeros, que realmente satisfaz a equação \( (1)\). Afinal:

\( 0 + n0 - (n-1)0 = 0 \)

Comments

Nesse comentário, serão utilizadas as notações e numeração de equações apresentadas na solução do Vinícius.

A solução verifica corretamente que {wn}, obtido pela combinação linear de {yn} e {zn} pertencentes ao conjunto V, também pertence ao conjunto V. Prova-se, então, que o conjunto V é fechado (ou estável, utilizando o termo do livro da questão) para as operações de adição e multiplicação por um escalar, requisitos para que V seja um subespaço de um conjunto que o contém.

A solução poderia ser complementada com a verificação de que o elemento neutro da adição, nesse caso a sequência de zeros, pertence ao conjunto V. Alguns livros de Álgebra Linear, como o Strang e o próprio Andreescu, não incluem essa verificação na definição de subespaços, mas ambos destacam sua importância (no caso do Andreescu, o Remark 4.7: “First, note that a vector subspace of a vector space must contain the zero vector”). Outros livros, como o Axler e o Elon, incluem a presença do elemento neutro da adição como um dos requisitos para que o subconjunto seja subespaço (juntamente com os requisitos de serem fechados para a soma e multiplicação por escalar).

O requisito de que o elemento neutro da adição pertença ao conjunto candidato a subespaço é, de certa forma, consequência do requisito de que o conjunto seja fechado para a multiplicação por um escalar. Como o produto de um elemento do conjunto por um escalar também deve pertencer ao conjunto, como esse escalar pode ser zero, é necessário que o elemento neutro da adição também esteja contido. A idéia também é condizente com o fato de que um subespaço é também um espaço em si mesmo, devendo conter o elemento neutro da adição.

A prova é direta, uma vez que a sequência de zeros está trivialmente contida no conjunto V ao satisfazer a equação (1).

---

Obrigado pelo comentário, Fábio. Realmente, começar checando a presença do vetor nulo pode ser interessante para podermos descartar rapidamente a hipótese de um conjunto ser subespaço vetorial. Nesse sentido, adicionei à resposta uma observação chamando a atenção para o fato de a presença do vetor nula ter ficado implícita na demonstração