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Exercício 2.4.10 Adaptado do Capítulo 2 do livro "A primer in Econometric Theory - John Stachurski".

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perguntada Mar 2 em Economia por Maria Salete (41 pontos)  
editado Abr 6 por Maria Salete

Sabendo que S é um subespaço do \(\mathbb{R}^N\) prove que:
\((i) 0 \in S,\)
\((ii) X \subset S \Longrightarrow \operatorname{span} X \subset S\),
\((iii) \operatorname{span} S= S\).

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1 Resposta

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respondida Mar 2 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 24 por Maria Salete

Antes da prova, vamos revisar o conceito de subespaço linear.

Definição I: Um conjunto não vazio de S pertencente ao \(\mathbb{R}^N\) é chamado subespaço linar se para \( x, y \in S \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha x + \beta y \in S \).

Prova item (i)

Usando esse conceito, a prova de (i) se torna direta ao assumirmos \(\alpha\)=0.

Com \(\alpha\)=0, para \( x, y \in S \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \beta y \in S \), logo 0 \(\in\) S.

Prova itens (ii) e (iii)

Aqui, é necessário revisar o conceito de Combinação Linear e Span.

Definição II: Dados os vetores \(\mathbf{x}_{1}, \ldots, \mathbf{x}_{K} \text { no } \mathbb{R}^{N}\), uma combinação linear desses vetores é um novo vetor na forma \(\mathbf{y}=\sum_{k=1}^{K} a_{k} \mathbf{x}_{k}=a_{1} x_{1}+\cdots+a_{k} \mathbf{x}_{k}\).

Definição III: Considerando um subconjunto \(X\) não vazio do \(\mathbb{R}^N\), \(Span X\) é um subespaço linear do \(\mathbb{R}^N\). Ou seja, é o conjunto de todas as possíveis combinações lineares dos elementos de X : \(\operatorname{Span} X:=\left\{\text { Todos os vetores } \sum_{k=1}^{K} \alpha_{k} \mathbf{x}_{k} \text { tal que } \alpha:=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right) \in \mathbb{R}^{K}\right\}\).

Como \(X\) é subconjunto de \(S\) e o \(Span\) de \(X\), nada mais, é do que todas as combinações lineares dos elementos de \(X\), pela própria definição de subespaço linear, \(Span\) de \(X\) vai estar contido em \(S\).

Conforme visto na Definição III acima, o \(Span\) de \(S\) é conjunto de todas as combinações lineares de elementos de \(S\). Como as combinações lineares são somas ponderadas de elementos pertencentes a \(S\), e pela própria definição de subespaço linear, \(Span S = S\).

comentou Mar 2 por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  
Ótima resposta!

Outra forma de mostrar (i) seria parecido mas sem a necessidade de definir subespaço linear. Por exemplo, o subespaço não-vazio \(S\) contêm um vetor \(s\) qualquer, por definição. Também pela definição de subespaço, \(-s\) também estará em \(S\). Como as somas e combinações lineares desse subespaço também \(\in\) \(S\), teremos que \( s + (-s) = 0 \in S\).

Ainda podemos pensar de forma mais geral. Como todo subespaço é um espaço vetorial e todo espaço vetorial \(\supseteq\) o vetor nulo, podemos concluir que \(S\) conterá o \(0\).
comentou Mar 15 por Maria Salete (41 pontos)  
Muito obrigada pela contribuição, Rodrigo.  Realmente, dessa forma, a resolução fica bem mais direta.
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