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Propriedades de um subpespaço do \(R^n\)

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perguntada Mar 2 em Economia por Maria Salete (41 pontos)  
editado Abr 6 por Maria Salete

Sabendo que S é um subespaço do \(\mathbb{R}^N\) prove que:
\((i) 0 \in S,\)
\((ii) X \subset S \Longrightarrow \operatorname{span} X \subset S\),
\((iii) \operatorname{span} S= S\).

Exercício 2.4.10 Adaptado do Capítulo 2 do livro "A primer in Econometric Theory - John Stachurski".

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comentou Mai 11 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Ola Salete! Olhe como eu coloquei o titulo mais sugestivo e coloquei a referencia a questão abaixo. Vc pode ajustar suas outras perguntas para ficar dessa forma se nao estiverem?
comentou Mai 11 por Maria Salete (41 pontos)  
Oi, professor. Muito obrigada. Já ajustei as demais perguntas para ficarem no modelo que o senhor solicitou.

1 Resposta

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respondida Mar 2 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 24 por Maria Salete

Antes da prova, vamos revisar o conceito de subespaço linear.

Definição I: Um conjunto não vazio de S pertencente ao \(\mathbb{R}^N\) é chamado subespaço linar se para \( x, y \in S \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha x + \beta y \in S \).

Prova item (i)

Usando esse conceito, a prova de (i) se torna direta ao assumirmos \(\alpha\)=0.

Com \(\alpha\)=0, para \( x, y \in S \ e \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \beta y \in S \), logo 0 \(\in\) S.

Prova itens (ii) e (iii)

Aqui, é necessário revisar o conceito de Combinação Linear e Span.

Definição II: Dados os vetores \(\mathbf{x}_{1}, \ldots, \mathbf{x}_{K} \text { no } \mathbb{R}^{N}\), uma combinação linear desses vetores é um novo vetor na forma \(\mathbf{y}=\sum_{k=1}^{K} a_{k} \mathbf{x}_{k}=a_{1} x_{1}+\cdots+a_{k} \mathbf{x}_{k}\).

Definição III: Considerando um subconjunto \(X\) não vazio do \(\mathbb{R}^N\), \(Span X\) é um subespaço linear do \(\mathbb{R}^N\). Ou seja, é o conjunto de todas as possíveis combinações lineares dos elementos de X : \(\operatorname{Span} X:=\left\{\text { Todos os vetores } \sum_{k=1}^{K} \alpha_{k} \mathbf{x}_{k} \text { tal que } \alpha:=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\right) \in \mathbb{R}^{K}\right\}\).

Como \(X\) é subconjunto de \(S\) e o \(Span\) de \(X\), nada mais, é do que todas as combinações lineares dos elementos de \(X\), pela própria definição de subespaço linear, \(Span\) de \(X\) vai estar contido em \(S\).

Conforme visto na Definição III acima, o \(Span\) de \(S\) é conjunto de todas as combinações lineares de elementos de \(S\). Como as combinações lineares são somas ponderadas de elementos pertencentes a \(S\), e pela própria definição de subespaço linear, \(Span S = S\).

comentou Mar 2 por Rodrigo Fernandes (61 pontos)  
Ótima resposta!

Outra forma de mostrar (i) seria parecido mas sem a necessidade de definir subespaço linear. Por exemplo, o subespaço não-vazio \(S\) contêm um vetor \(s\) qualquer, por definição. Também pela definição de subespaço, \(-s\) também estará em \(S\). Como as somas e combinações lineares desse subespaço também \(\in\) \(S\), teremos que \( s + (-s) = 0 \in S\).

Ainda podemos pensar de forma mais geral. Como todo subespaço é um espaço vetorial e todo espaço vetorial \(\supseteq\) o vetor nulo, podemos concluir que \(S\) conterá o \(0\).
comentou Mar 15 por Maria Salete (41 pontos)  
Muito obrigada pela contribuição, Rodrigo.  Realmente, dessa forma, a resolução fica bem mais direta.
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