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Variável Aleatória e Função densidade de Probabilidade, Exemplo.

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perguntada Mar 2 em Estatística por Ricardo Nunes (21 pontos)  
editado Mai 24 por Ricardo Nunes

Capítulo 4 - Exercício 6 do Livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

Seja X uma variável aleatória de distribuição contínua com função de densidade de probabilidade dada por: \(f(x) = 2x, 0 \leq x \leq 1\).

a) Calcule \(E(X)\)

b) Seja \(Y = X^2\). Ache a função de massa de probabilidade para encontrar E(Y).

c) Use o Teorema A da seção 4.1.1 para encontrar \(E(X^2)\) e compare com o resultado do item anterior.

d) Encontre a \(Var(X)\) de acordo com a definição de variância dada na seção 4.2. Além disso, encontre \(Var(X)\) usando o teorema B da seção 4.2.

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1 Resposta

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respondida Mar 2 por Ricardo Nunes (21 pontos)  

a) Para resolver o item podemos aplicar diretamente a definição de valor esperado de variável aleatória contínua:
\[E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)^ \,dx \]

Temos então a integral definida: \(E(X)=\int_{0}^{1}2x^2 \,dx \) e, logo, \(E(X) = 2/3\).

b) Apenas fazendo uma observação: como a variável aleatória é contínua, quando o enunciado se refere a função de massa de probabilidade, o correto é função densidade de probabilidade.

A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor em um intervalo \(a \leq X \leq b\) é definido por:
\[P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\]
Usando \(Y = X^2\) e usando os valores da questão para encontrar a função densidade de probabilidade para \(Y\), temos: \[P(0\leq X^2 \leq 1) = \int_{0}^{1}f(x^2)\,dx,\]
em que \(f(x^2)\) é a função densidade de probabilidade de \(Y\) e como \(f(x) = 2x\) temos que \(f(x^2) = 2x^2\), logo podemos calcular o valor esperado de \(Y\) fazendo:
\[E(Y) = \int_{0}^{1} xf(x^2)\,dx = \int_{0}^{1} 2x^3\,dx = 1/2\]

c) O que nos interessa do Teorema A da seção 4.1.1 é sua segunda parte:

Suponha que \(Y = g(X)\), em que \(X\) é uma variável aleatória contínua com função densidade \(f(x)\), então:
\[E(Y) =\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)^ \,dx \]

Como \(Y=X^2, g(x) = x^2 \) , logo: \(E(X^2) = \int_ {0}^{1} x^22x^\,dx=\int_ {0}^{1} 2x^3\,dx\) , resolvendo temos: \(E(X^2) = 1/2 \).

O resultado é o mesmo do item anterior, no entanto, foi encontrado de forma mais simples e imediata.

d) Da definição de variância na seção 4.2:
\[Var(X) = E([X-E(X)]^2),\] onde, se a variável \(X\) for contínua, temos:
\[Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x).\]
Substituindo os valores temos: \(Var(X) = \int_{0}^{1}[x-2/3]^22x\), resolvendo encontramos: \(Var(X) = 1/18\)

Ao utilizarmos o Teorema B dessa seção, podemos encontrar a variância de forma mais simples:
\[Var(X) = E(X^2) - E(X)^2\]
Substituindo os valores temos: \(Var(X) = 1/2 - (2/3)^2=1/18\)

comentou Abr 20 por Bernardo Mendes (21 pontos)  

A questão é bem desenvolvida pelo colega Ricardo Nunes que se atentou prontamente à confusão teórica do autor ao designar o nome "função de massa de probabilidade" à uma V.A contínua que deve ter sua distribuição definida por uma função densidade de probabilidade.

Abaixo gerei um código em Python para solucionar o problema. É necessário instalar o pacote SymPy.

from sympy.stats import E, variance, ContinuousRV
from sympy import Symbol, Interval

k = Symbol('k')


pdf = 2*k


X = ContinuousRV(k, pdf, set=Interval(0,1).closure)

E(X)
variance(X)

Y = X**2

E(Y)
variance(Y)

os outputs obtidos são exatamente os mesmos que os obtidos pelo colega.

comentou Mai 23 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão.
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