Exercício 14 - Capítulo 4 do Livro Mathematical Statistics and Data Analysis - John A Rice

Question

Seja X uma variável aleatória de distribuição contínua com função de densidade de probabilidade dada por: \(f(x) = 2x, 0 \leq x \leq 1\)

a) Calcule \(E(X)\).

b) Calcule \(E(X^2) \) e \(VAR(X)\).

Answer 1

Letra a)

Definição: Seja X uma variável aleatória qualquer. A esperança \(\mathrm{E}(X-b)^{k},\) caso exista, é chamada o k-ésimo momento de \(X\) em torno de \(b\), onde \( b \in \mathbb{R} \text { e } k \in \mathbb{N} \). Se \(b=0\), então \(\mathrm{E}(X^k),\) é o k-ésimo momento de \(X\). Se \(b=E(X)\), chamamos \( E(X - E(X))^k\)de o k-ésimo momento central de \(X\).

Definição II: A esperança ou valor esperado de uma variável aleatória é a medida do valor médio que a variável assume. É uma medida de tendência central e o primeiro momento de qualquer variável \(X\).

Para variáveis contínuas a esperança pode ser calculada como \(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x\), sendo \(f(x)\) a função de densidade de probabilidade (fdp) de \(X\).

Para \(f(x) = 2x, 0 \leq x \leq 1 \), \(E(X)=\int_{0}^{1} x. 2x \,dx\) = \(\left[\left.\frac{2x^{3}}{3}\right|_{0} ^{1}=\right.\) \(\frac{2}{3}\).

Resposta: \(E(X) = 2/3\).

Letra b)

\(E(X^2)=\int_{0}^{1} x^2.2x\,dx\) = \(\left[\left.\frac{x^{4}}{2}\right|_{0} ^{1}=\right.\) \(\frac{1}{2}\).

Resposta:, \(E(X^2) = 1/2\).

Definição III: A variância é o segundo momento central de uma variável x e pode ser calculada como:

\begin{aligned}
\operatorname{Var}(X) &=\mathrm{E}(X-\mathrm{E} X)^{2}=\mathrm{E}\left(X^{2}-2 X \mathrm{E} X+(\mathrm{E} X)^{2}\right) \\
&=\mathrm{E} X^{2}-2(\mathrm{E} X)^{2}+(\mathrm{E} X)^{2} \\
&=\mathrm{E} X^{2}-(\mathrm{E} X)^{2}
\end{aligned}

Portanto,

\(VAR(X) =\mathrm{E} (X^{2})-(\mathrm{E} (X))^{2} = 1/2 - (2/3)^2 = 1/18 \)

Resposta: \( VAR(X) = 1/18\)

Comments

Os valores calculados para \(E(X)\), \(E(X^2)\), e \(Var(X)\) estão muito bem demonstrados de acordo com as definições.

Um fato interessante, é que a densidade \(f(x)=2x\),  \(0 \leq x \leq 1\) também pode ser caracterizada como uma v.a com distribuição Beta de parâmetros \( \alpha>0\) e \(\beta>0\), isto é,  \( X \sim Beta (\alpha, \beta)\). Logo,  
\[f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\quad x\in(0,1) \ \text{e} \ \alpha,\beta \ > \ 0 \].
Logo, \( X \sim Beta (2, 1)\). Então,  

\(f(x)=\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(2)\Gamma(1)}x^{1}(1-x)^{0}=2x\quad x\in(0,1) \ \text{e} \ \alpha,\beta \ > \ 0 \).

Sabemos que a distribuição Beta tem seus momentos dados por:

\( \mathbb{E}\left(X^k\right)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha +k-1}(1-x)^{\beta-1}dx=\displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha+\beta+k)\Gamma(\alpha)}. \)

\( \mathbb{E}(X)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(\alpha)}=\displaystyle \frac{\Gamma(\alpha+\beta)\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha+\beta} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} .\)

e

\( \mathbb{E}\left(X^2\right)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}= \frac{3*2}{4*3} = \frac{1}{2}. \)

Então,

\( \text{Var}(X)=\mathbb{E}\left(X^2\right)-\mathbb{E}^2\left(X\right)=\frac{(\alpha+1)\alpha}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)}-\frac{\alpha^2}{(\alpha+\beta)^2} = \)

\[ =\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2} =  \frac{2*1}{3^2 * 4} = \frac{1}{18}. \]

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Muito obrigada pelas contribuições,  Cláudia.