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Prove que para todas as matrizes \(A \in M_{2}(\mathrm{C})\) temos que: \[\operatorname{Det} A=\frac{(\operatorname{Tr}(A))^{2}-\operatorname{Tr}\left(A^{2}\right)}{2}\]

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perguntada Mar 2 em Economia por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mai 11 por Maria Salete

Problemas para praticar 2.1.1 - Exercício 4 do livro Essential linear algebra with applications -Titu Andreescu

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1 Resposta

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respondida Mar 2 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 3 por Maria Salete

Considere uma matriz \(A \in M_{2}(\mathbf{C})\).
\[ A=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]\]

Podemos definir:

Traço de \(A\) como: \(\operatorname{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}\)
e
Determinante de \(A\) como: \(Det (A)\) = \(a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\)

Prova

\[A^2=\left[\begin{array}{cc} a_{11} a_{11}+a_{12} a_{21} & a_{11} a_{12}+a_{12} a_{22} \\ a_{21} a_{11}+a_{22} a_{21} & a_{21} a_{12}+a_{22} a_{22}\\ \end{array}\right]\]

\(\operatorname{Tr}(A^2)=a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21}\)

\(\frac{(\operatorname{Tr}(A))^{2}-\operatorname{Tr}\left(A^{2}\right)}{2}\) =\(\frac{(a_{11}+a_{22})^2 - ( a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21})}{2}\) =

\(=\frac{(a_{11}^2+a_{22}^2 + 2a_{11}a_{22}) - ( a_{11}^2+a_{22}^2 + 2 a_{12} a_{21})}{2}\)=
=\(\frac{2( a_{11}a_{22} - a_{12} a_{21})}{2}\) = \(=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\) = \(Det (A)\)

comentou Mar 10 por Vinícius Oliveira (11 pontos)  
Ótima solução, pois você definiu previamente algumas funções, tais como o traço e determinante de uma matriz quadrada, necessárias para provar a igualdade solicitada. Além disso, uma estratégia importante adotada pela Maria Salete  foi explicitar cada entrada da matriz \( A^2 \). Tudo isso contribuiu para deixar a demonstração organizada e facilitar o entendimento.

Uma dica, para quem está começando os estudos em Álgebra Linear, é lembrar que \( A^2 \) nada mais é que o produto de 2 matrizes idênticas. Isto é, \( A^2  = B = AA \). Em particular, seguindo a notação da Maria Salete, no caso de \( A \in M_{2}(C) \), uma outra forma de explicitar cada entrada \( b_{ij} \) de \(  B = A^2 \) é a partir da definição do produto matricial. Ou seja:

\( b_{ij} =    \displaystyle \sum_{k=1}^{2} a_{ik}a_{kj} \)

Essa outra forma chama a atenção para o fato de cada de entrada \( b_{ij} \) de \(  B = A^2 \) ser equivalente ao produto interno da i - ésima linha pela j - ésima coluna de \( A \).
comentou Mar 15 por Maria Salete (41 pontos)  
Muito obrigada pelas contribuições,  Vinícius.
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