Capítulo 1 - exercício 17 do Livro "An introduction to econometric theory" – Ronald Gallant

Question

Em uma remessa de 1.000 transistores, 100 estão com defeito.
Se 50 transistores são inspecionados, qual é a probabilidade de cinco deles estarem com defeito?

Inclua na resposta uma explicação da lógica utilizada para resolver esse problema.

Answer 1

Importante começar o problema notando se a variável em questão é discreta ou contínua. Como estamos falando de número de transistores funcionando / defeituosos, estamos falando de variáveis discretas (aquelas finitas ou infinitas mas enumeráveis). Não podemos ter 2.3 transistores funcionando e 0.7 defeituosos.

Existem tipos de distribuição de probabilidade que podem trabalhar com esse tipo de variável (Bernoulli, Binomial...).

A Bernoulli é, resumidamente, uma distribuição de variáveis que podem ter valor 0 ou 1, ou seja, sucessos e falhas(como transistores funcionando ou defeituosos). A Binomial funciona, basicamente, como se fossem feitos “n” ensaios de Bernoulli independentes – por isso foi a escolhida para esse problema.

Como queremos saber a probabilidade de ter 5 transistores defeituosos, ao pegar aleatoriamente 50 dentre 1000 (com uma taxa de defeito de 100/1000 = 0.1), no fundo queremos fazer um teste de Bernoulli para cada evento possível.

Podemos chamar o “sucesso” da distribuição como sendo ter o transistor defeituoso. (O inverso também é possível, apenas é necessário tomar cuidado ao interpretar o resultado)

Portanto temos que:
X = número de transistores defeituosos
x = 5 = número de transistores defeituosos que "queremos"
n = 50 = número de transistores escolhidos aleatoriamente
p = 100/1000 = 0.1 = probabilidade de sucesso (ser defeituoso)
X ~ B(50, 0.1)

Sabendo que a função de probabilidade de X, em uma distribuição Binomial, é dada pela fórmula:

Atingimos o resultado de que a probabilidade de que 5 transistores sejam defeituosos (dos 50 retirados) é de 0.1849

Também é possível fazer essa conta no R, utilizando a função dbinom.
Basta escrever dentro dela o valor de x, o tamanho da amostra (n) e a probabilidade de sucesso (p). O mesmo valor de 0.1849 é retornado (até o 4 números depois da vírgula). Também podemos escrever a função acima expressamente no R para obtermos o mesmo valor.

dbinom(5, size = 50, prob = 0.1)

Caso queira calcular a probabilidade para todos os valores de x, de 0 até 50, podemos escrever o código abaixo. Podemos verificar que está certo porque ao somarmos todas as probabilidades discretas, temos o valor de 1.0.

probabilidades <- rep(NA, 51)

for (i in 1:51) {
   probabilidades[i] <- dbinom((i-1), size = 50, prob = 0.1)
}

E então, caso se queira saber a probabilidade de se ter até 5 transistores defeituosos (podendo então se ter 0, 1, 2, 3, 4 ou 5) basta pedir a soma dos primeiros 5 termos como no código abaixo. Essa probabilidade é igual a 0.6161.

sum(probabilidades[1:6])

Comments

Achei bem completa sua resposta, Thiago. Para tentar acrescentar algo eu desenvolvi um código parecido com o seu, só que no Python.

Fiz de duas maneiras, uma de forma mais bruta onde a ideia foi só copiar a fórmula original para o Python e deixar ele resolver os cálculos usando a biblioteca math para calcular o fatorial e de outra forma que considero a mais ideal, utilizando a biblioteca scipy e utilizando a função já existente nela, onde só devemos colocar os parâmetros.

import scipy.stats as stats
import math

c = math.factorial(50) / (math.factorial(5) * math.factorial(50-5))
p1 = c * (0.1**5) * (0.9**45)
print(p1)

p2 = stats.binom.pmf(5,50,0.1)
print(p2)