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A distribuição acumulada de Weibull é \(F(x) = 1-e^{-(x/ \alpha)^\beta}\).

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perguntada Mar 3 em Estatística por claudiaeirado (56 pontos)  

a)Encontre sua função de densidade de probabilidade.
b) Mostre que se W segue a distribuição Weibull, então \(X= (W/ \alpha)^\beta\) segue uma distribuição Exponencial.
c) Como podemos gerar uma variável aleatória Weibull a partir de um gerador de número aleatório que segue Uniforme [0, 1].

A questão 67 está descrita no Capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis", de John A. Rice.

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1 Resposta

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respondida Mar 3 por claudiaeirado (56 pontos)  
editado Mar 5 por claudiaeirado

a) Segue que a função densidade poder ser obtida por:

\[f(x)= \frac{d}{dx} F_X(x)= \frac{d}{dx} \left[ 1-e^{-(\frac{x}{\alpha})^\beta} \right]\]
\[f(x)= e^{-(\frac{x}{\alpha})^\beta} \frac{-\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha} \right)^{\beta-1} \]
\[f(x)= \frac{-\beta}{\alpha} \left(\frac{x}{\alpha} \right)^{\beta-1} e^{-(\frac{x}{\alpha})^\beta} \]

b) \(W \sim Weibull(\alpha, \beta)\) e \(X= \left(\frac{W}{\alpha} \right)^\beta\).

Sabemos que \(F_W (w) = 1-e^{-(\frac{w}{\alpha})^\beta}\) pelo enunciado.Então
\[F_X (x) = P( X \leq x)\]
\[= P \left( \left(\frac{W}{\alpha} \right)^\beta \leq x \right)\]
\[= P \left( W \leq \alpha x^\frac{1}{\beta} \right)\]
\[=1-exp \{ - \left(\frac{\alpha x^\frac{1}{\beta}}{\alpha} \right)^\beta \}=1-e^{-x}\].

Se \(F_X (x)=1-e^{-x}\), e \(f(x)= \frac{d}{dx} F_X(x)=e^{-x} \). Então \(X \sim Exponencial(1)\). Logo, X segue distribuição Exponencial.

c) Se \(W \sim Weibull(\alpha, \beta)\) e temos \(U \sim Uniforme(0, 1)\), podemos obter a transformação
\[F_W(w) \sim U \Rightarrow W \sim F^{-1} (U)\]

Logo, \(U = 1-e^{-(\frac{W}{\alpha})^\beta} \)
\[ 1 - U = e^{-(\frac{W}{\alpha})^\beta}\]
\[ ln(1 - U) = - \left(\frac{W}{\alpha} \right)^\beta\]
\[ W=- \alpha \ [{ln (1-U)}]^\frac{1}{\beta} \]

Então para gerar a v.a. \(W \) podemos gerar a amostra aleatória com os números \(U\) seguindo distribuição Uniforme [0,1], e aplicar \(W=- \alpha \ [{ln (1-U)}]^\frac{1}{\beta} \).

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