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Prove que a união e intersecção são comutativas, associativas e distributivas.

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perguntada Mar 6 em Matemática por Samuel Ceccon (1 ponto)  

Questão 3 do primeiro capítulo do livro An Introduction to Econometric Theory do Gallant

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2 Respostas

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respondida Mar 6 por Samuel Ceccon (1 ponto)  

Dados os conjuntos A e B, temos que:

União: \( A\cup B\) é o conjunto dos elementos que pertencem a A, ou a B, ou a ambos. \(A\cup B=\{x:x\in A\) ou \(x\in B\}\)

Intersecção: \(A\cap B\) é o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B. \(A\cap B=\{x:x\in A\) e \(x\in B\}\).

\(A\subset B\) siginifica que se x pertence a A então pertence a B.
\(A\subset B\Leftrightarrow x\in A\Rightarrow x\in B\)

A igualdade de dois conjuntos se dá quando:
\(A=B\Leftrightarrow A\subset B\) e \(B\subset A\).

Vamos utilizar os símbolos \(\wedge\) para representar a conjunção "e" e \(\vee\) para a conjunção "ou".

a. Comutatividade:

a1. \(A\cup B=B\cup A\)
\(x\in(A\cup B) = \{x: x\in A \vee x\in B\}\) = \(\{x: x\in B \vee x\in A\}=x\in(B\cup A)\)
\(\therefore A\cup B=B\cup A\)

a2. \(A\cap B=B\cap A\)
\(x\in(A\cap B)=\{x: x\in A \wedge x\in B\}\) = \(\{x: x\in B \wedge x\in A\}=x\in(B\cap A)\)
\(\therefore A\cap B=B\cap A\)

b. Associatividade

b1. \(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)
\(x\in A\cup(B\cup C) \Rightarrow x\in A \vee x\in(B\cup C) \Rightarrow x\in A\vee (x\in B\vee x\in C)\)
\(=x\in A \vee x\in B \vee x\in C=(x\in A \vee x\in B) \vee x\in C=x\in(A\cup B) \vee x\in C\)
\(=x\in(A\cup B)\cup C\)

\(x\in(A\cup B)\cup C \Rightarrow x\in(A\cup B)\vee x\in C \Rightarrow (x\in A \vee x\in B)\vee x \in C\)
\(=x\in A\vee x\in B \vee x\in C = x\in A\vee(x\in B\vee x\in C) = x\in A\vee x\in(B\cup C)\)
\(=x\in A\cup(B\cup C)\)

b2. \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)
\(x\in A\cap(B\cap C) \Rightarrow x\in A \wedge x\in(B\cap C) \Rightarrow x\in A\wedge (x\in B\wedge x\in C)\)
\(=x\in A \wedge x\in B \wedge x\in C=(x\in A \wedge x\in B) \wedge x\in C=x\in(A\cap B) \wedge x\in C\)
\(=x\in(A\cap B)\cap C\)

\(x\in(A\cap B)\cap C \Rightarrow x\in(A\cap B)\wedge x\in C \Rightarrow (x\in A\wedge x\in B)\wedge x\in C\)
\(=x\in A\wedge x\in B \wedge x\in C = x\in A\wedge(x\in B\wedge x\in C) = x\in A\wedge x\in(B\cap C)\)
\(=x\in A\cap(B\cap C)\)

c. Distributividade

c1. \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
\(A\cap(B\cup C)\Rightarrow x\in A\cap(B\cup C) \Rightarrow x\in A \wedge x\in(B\cup C) \)
\(\Rightarrow x\in A \wedge (x\in B \vee x\in C)\)
\(\Rightarrow (x\in A \wedge x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in(A\cap B) \vee x\in(A\cap C)\Rightarrow x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

\((A\cap B)\cup(A\cap C)\Rightarrow x\in(A\cap B)\cup(A\cap C) \Rightarrow x\in(A\cap B) \vee x\in(A\cap C)\)
\(\Rightarrow (x\in A \wedge x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in A \wedge (x\in B \vee x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in A \wedge x\in(B\cup C)\Rightarrow x\in A\cap(B\cup C)\).

c2. \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)
\(A\cup(B\cap C)\Rightarrow x\in A\cup(B\cap C) \Rightarrow x\in A\vee x\in(B\cap C)\)
\(\Rightarrow x\in A\vee (x\in B\wedge x\in C)\)
\(\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x \in C)\)
\(\Rightarrow x\in(A\cup B)\wedge x\in(A\cup C) \Rightarrow x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

\((A\cup B)\cap(A\cup C) \Rightarrow x\in (A\cup B)\cap(A\cup C) \Rightarrow x\in(A\cup B)\wedge x\in(A\cup C)\)
\(\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A \vee x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in A\vee(x\in B\wedge x \in C)\)
\(\Rightarrow x\in A\vee x\in(B\cap C) \Rightarrow x\in A\cup(B\cap C)\)

comentou Mar 7 por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  
editado Mar 7 por Rodrigo Fernandes
Achei a resposta bem completa, Samuel. O uso de notação para "e" e "ou" foi precisa, acho que não teria pensado nisso.
Outra forma de responder essa questão, eu imagino, seria via Diagrama de Venn. Seria menos completo e mais simples, mas com os mesmos resultados. O lado positivo seria a visualização, principalmente para o caso da distributividade.
Vou exemplificar como outra resposta.
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respondida Mar 7 por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  

Por exemplo, para c1, queremos provar que \(A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)\).
Graficamente, podemos representar \((B \cup C)\) por, sendo a área sombreada a que nos interessa:
A imagem será apresentada aqui.
Assim, o conjunto \(A \cap(B \cup C)\) é, graficamente:
A imagem será apresentada aqui.
E como \((A \cap B)\) equivale à:
A imagem será apresentada aqui.
E \((A \cap C)\) equivale à:
A imagem será apresentada aqui.
Teremos que \((A \cap B) \cup(A \cap C)\) é igual ao diagrama 2, mostrando a propriedade buscada.

Poderiamos fazer algo parecido para todas as provas.

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