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Prove que a união e intersecção são comutativas, associativas e distributivas.

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perguntada Mar 6 em Matemática por Samuel Ceccon (11 pontos)  

Questão 3 do primeiro capítulo do livro An Introduction to Econometric Theory do Gallant

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2 Respostas

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respondida Mar 6 por Samuel Ceccon (11 pontos)  
editado Mai 17 por Samuel Ceccon

Dados os conjuntos A e B, temos que:

União: \( A\cup B\) é o conjunto dos elementos que pertencem a A, ou a B, ou a ambos. \(A\cup B=\{x:x\in A\) ou \(x\in B\}\)

Intersecção: \(A\cap B\) é o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B. \(A\cap B=\{x:x\in A\) e \(x\in B\}\).

\(A\subset B\) siginifica que se x pertence a A então pertence a B.
\(A\subset B\Leftrightarrow x\in A\Rightarrow x\in B\)

A igualdade de dois conjuntos se dá quando:
\(A=B\Leftrightarrow A\subset B\) e \(B\subset A\).

Vamos utilizar os símbolos \(\wedge\) para representar a conjunção "e" e \(\vee\) para a conjunção "ou".

a. Comutatividade:

a1. \(A\cup B=B\cup A\)
\(x\in(A\cup B) = \{x: x\in A \vee x\in B\}\) = \(\{x: x\in B \vee x\in A\}=x\in(B\cup A)\)
\(\therefore A\cup B=B\cup A\)

a2. \(A\cap B=B\cap A\)
\(x\in(A\cap B)=\{x: x\in A \wedge x\in B\}\) = \(\{x: x\in B \wedge x\in A\}=x\in(B\cap A)\)
\(\therefore A\cap B=B\cap A\)

b. Associatividade

b1. \(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C\)
\(x\in A\cup(B\cup C) \Rightarrow x\in A \vee x\in(B\cup C) \)
\(\Rightarrow x\in A\vee (x\in B\vee x\in C)\)
\(=x\in A \vee x\in B \vee x\in C=(x\in A \vee x\in B) \vee x\in C\)
\(=x\in(A\cup B) \vee x\in C\)
\(=x\in(A\cup B)\cup C\)

\(x\in(A\cup B)\cup C \Rightarrow x\in(A\cup B)\vee x\in C\)
\(\Rightarrow (x\in A \vee x\in B)\vee x \in C\)
\(=x\in A\vee x\in B \vee x\in C = x\in A\vee(x\in B\vee x\in C)\)
\( = x\in A\vee x\in(B\cup C)\)
\(=x\in A\cup(B\cup C)\)

b2. \(A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\)
\(x\in A\cap(B\cap C) \Rightarrow x\in A \wedge x\in(B\cap C)\)
\( \Rightarrow x\in A\wedge (x\in B\wedge x\in C)\)
\(=x\in A \wedge x\in B \wedge x\in C=(x\in A \wedge x\in B) \wedge x\in C\)
\(=x\in(A\cap B) \wedge x\in C\)
\(=x\in(A\cap B)\cap C\)

\(x\in(A\cap B)\cap C \Rightarrow x\in(A\cap B)\wedge x\in C\)
\( \Rightarrow (x\in A\wedge x\in B)\wedge x\in C\)
\(=x\in A\wedge x\in B \wedge x\in C = x\in A\wedge(x\in B\wedge x\in C)\)
\( = x\in A\wedge x\in(B\cap C)\)
\(=x\in A\cap(B\cap C)\)

c. Distributividade

c1. \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
\(A\cap(B\cup C)\Rightarrow x\in A\cap(B\cup C)\)
\( \Rightarrow x\in A \wedge x\in(B\cup C) \)
\(\Rightarrow x\in A \wedge (x\in B \vee x\in C)\)
\(\Rightarrow (x\in A \wedge x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in(A\cap B) \vee x\in(A\cap C)\Rightarrow x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\)

\((A\cap B)\cup(A\cap C)\Rightarrow x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)\)
\( \Rightarrow x\in(A\cap B) \vee x\in(A\cap C)\)
\(\Rightarrow (x\in A \wedge x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in A \wedge (x\in B \vee x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in A \wedge x\in(B\cup C)\Rightarrow x\in A\cap(B\cup C)\).

c2. \(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\)
\(A\cup(B\cap C)\Rightarrow x\in A\cup(B\cap C)\)
\( \Rightarrow x\in A\vee x\in(B\cap C)\)
\(\Rightarrow x\in A\vee (x\in B\wedge x\in C)\)
\(\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A\vee x \in C)\)
\(\Rightarrow x\in(A\cup B)\wedge x\in(A\cup C) \Rightarrow x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)\)

\((A\cup B)\cap(A\cup C) \Rightarrow x\in (A\cup B)\cap(A\cup C)\)
\( \Rightarrow x\in(A\cup B)\wedge x\in(A\cup C)\)
\(\Rightarrow (x\in A\vee x\in B)\wedge (x\in A \vee x\in C)\)
\(\Rightarrow x\in A\vee(x\in B\wedge x \in C)\)
\(\Rightarrow x\in A\vee x\in(B\cap C) \Rightarrow x\in A\cup(B\cap C)\)

comentou Mar 7 por Rodrigo Fernandes (61 pontos)  
editado Mar 7 por Rodrigo Fernandes
Achei a resposta bem completa, Samuel. O uso de notação para "e" e "ou" foi precisa, acho que não teria pensado nisso.
Outra forma de responder essa questão, eu imagino, seria via Diagrama de Venn. Seria menos completo e mais simples, mas com os mesmos resultados. O lado positivo seria a visualização, principalmente para o caso da distributividade.
Vou exemplificar como outra resposta.
comentou Mai 17 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Talvez uma das linhas podem ser divididas pois estão muito longas e não aparecem completamente.
comentou Mai 17 por Samuel Ceccon (11 pontos)  
Aqui no meu navegador estava mostrando as linhas completas, professor.
Mas dei uma arrumada nos códigos, acho que agora melhorou!
+1 voto
respondida Mar 7 por Rodrigo Fernandes (61 pontos)  

Por exemplo, para c1, queremos provar que \(A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)\).
Graficamente, podemos representar \((B \cup C)\) por, sendo a área sombreada a que nos interessa:
A imagem será apresentada aqui.
Assim, o conjunto \(A \cap(B \cup C)\) é, graficamente:
A imagem será apresentada aqui.
E como \((A \cap B)\) equivale à:
A imagem será apresentada aqui.
E \((A \cap C)\) equivale à:
A imagem será apresentada aqui.
Teremos que \((A \cap B) \cup(A \cap C)\) é igual ao diagrama 2, mostrando a propriedade buscada.

Poderiamos fazer algo parecido para todas as provas.

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