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Mostre que as probabilidades de uma binomial somam 1.

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perguntada Mar 6 em Estatística por Fábio Springer (1 ponto)  

Exercício 8 do capítulo 2 do livro Mathematical statistics and data analysis de John A. Rice .

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1 Resposta

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respondida Mar 6 por Fábio Springer (1 ponto)  
editado Mar 9 por Fábio Springer

A função de probabilidade de uma binomial com probabilidade \(p\), \(n\) tentativas e \(k\) sucessos é: \[f(k,n,p)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\]

Queremos mostrar que \[\sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}= 1\]

Perceba que para \(x\) e \(y\) quaisquer podemos montar um Binómio de Newton tal que: \[(x + y)^n =\sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}x^{n-k}y^k\]

Se assumirmos \(y = p\) e \(x = (1-p)\) então o Binómio passa a ser:
\[((1 - x)+x)^n=\sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}\] como \[((1 - x)+x)^n = 1^n\] chegamos no resultado esperado \[\sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}= 1\]

comentou Mar 8 por Thiago Trafane (21 pontos)  
Fábio, parabéns pela demonstração. Ficou bem direta e clara. Tenho apenas alguns comentários pontuais:

1) Acredito que, na passagem final, você deve assumir que \( x = 1-p \) para chegar no resultado desejado e não \( x = p \) como você fez.

2) Quando você apresenta o resultado que você quer mostrar (segunda equação) e na linha final (última equação), tem um erro de digitação, um parêntese a mais.

3) Quando você apresenta o binômio de Newton para  \( y = 1-x \), houve algum problema com o Latex, já que o coeficiente binomial não saiu corretamente.

4) Apenas como sugestão: para a demonstração ficar ainda mais direta, logo após apresentar o binômio de Newton, talvez fosse interessante já considerar de uma vez só \( y = p \) e \( x = 1-p \), mostrando, então, que o resultado desejado é facilmente obtido dessas condições.
comentou Mar 9 por Fábio Springer (1 ponto)  
Obrigado pelo comentário Thiago, sobre os seus pontos:

 Fiz essa confusão na hora de digitar, mas já editei a resposta e agora temos que \(x = 1 - p\). Gostei bastante da sua sugestão e editei a prova conforme o seu ponto 4. Acho que ficou mais simples assim.
comentou Mar 10 por Thiago Trafane (21 pontos)  
Ótimo, Fábio!
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