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Supondo que \(X\) tenha a função de densidade \(f (x) = cx^2\) para \(0 \leq x \leq 1\) e \(f (x) = 0\) caso o contrário

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perguntada Mar 7 em Estatística por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  

a. ache c;
b. ache a função de distribuição acumulada;
c. qual é \(P(.1 \leq X \leq .5)?\).

Questão do livro "Mathematical statistics and data analysis", do Rice J.A. Capítulo 2, exercício 40 (página 67).

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1 Resposta

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respondida Mar 7 por Rodrigo Fernandes (16 pontos)  

(a) Sabendo que a integração da função de densidade para seu domínio (\(0 \leq x \leq 1\)) deve valer 1, podemos descobrir c dessa forma:

\(\int_{0}^{1} cx^2 \,dx = 1 \to \tfrac{1}{3}c x^3 \Big|_0^1 = 1 \to \tfrac{1}{3}c - 0 = 1 \to \tfrac{1}{3}c = 1 \to c = 3\)

(b) A f.d.a. pode ser calculada por intervalos da seguinte forma:

  • Para valores de x menor que 0, teremos probabilidade nula;
  • Para valores entre 0 e 1, teremos que:

    \(\int_{0}^{x} f(t) \,dt = \int_{0}^{x} 3t^2 \,dt = t^3 \Big|_{0}^{x} = x^3\)

  • E para valores maiores que 1 teremos probabilidade igual a \(1\).

Em resumo, essa é a função de distribuição acumulada pedida pela questão:
\(F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { if } x<0 \ x^3 & \text { if } 0 \leq x \leq 1 \ 1 & \text { if } x>1\end{array}\right.\)

(c) Essa probabilidade é dada pela área abaixo da função \(f(x)\), com x entre 0.1 e 0.5. Assim, podemos escrever:

\(\int_{0.1}^{0.5} f(x) \,dx = \int_{0.1}^{0.5} 3x^2 \,dx = x^3 \Big|_{0.1}^{0.5} = {(0.5)}^3 - {(0.1)}^3 = (0.125) - (0.001) = (0.124)\).

Outra forma seria calcular via f.d.a, calculada na letra (b), assim teriamos \(F(0.5) - F(0.1) = 0.124\)

Dessa forma, a probabilidade pedida é \(12,4\%\).

comentou Mar 16 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
A resposta está muito bem formulada, com todos os cálculos realizados corretamente. Alguns comentários podem ajudam a complementar os assuntos abordados no exercício.

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) é utilizada para o cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento. A probabilidade máxima da ocorrência de um evento é 100%, o que é dado pela área total abaixo de uma f.d.p. e acima do eixo horizontal dentro de um intervalo:

\(∫_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1\).

No caso do exercício proposto, o intervalo do domínio da variável aleatória contínua de x é [0,1], assim:

\(∫_{0}^{1}f(x)dx=1\)

É muito comum em exercícios sobre distribuições contínuas, como foi no exercício proposto, serem pedidos os cálculos da função densidade de probabilidade (f.d.p.) e da função distribuição acumulada (f.d.a.).

De forma usual, quando os cálculos são possíveis, dentro de um intervalo definido contínuo:

-para encontrar a f.d.a., integra-se a f.d.p.
-para encontrar a f.d.p., deriva-se a f.d.a.

No exercício proposto, dentro do intervalo \(0≤x≤1\):

-> f.d.p.\(= 3x^2\) , assim, f.d.a. \(=∫3x^2 dx = x^3\)

-> f.d.a. \(=x^3\), assim, f.d.p. \(=\dfrac{\partial f}{\partial x}x^3= 3x^2\)

Já a função de distribuição acumulada (f.d.a.) para variáveis aleatórias contínuas associa probabilidades a intervalos dentro de um domínio definido.

Há sempre complementariedade nos intervalos, de forma que a soma das probabilidades dos intervalos deve sempre ser 100%.

De acordo com o exercício proposto, separando em três intervalos.

\(P(0≤X≤0,1) =∫_{0}^{0,1}3x^2 dx = x^3∣_{0}^{0,1}\) \(= 0,001\) ou \(0,1\)%

\(P(0,1≤X≤0,5) =∫_{0,1}^{0,5}3x^2 dx = x^3∣_{0,1}^{0,5}\) \(= 0,124\) ou \(12,4\)%

\(P(0,5≤X≤1) =∫_{0,5}^{1}3x^2 dx = x^3∣_{0,5}^{1}\) \(= 0,875\) ou \(87,5\)%

\(P(0≤X≤0,1) + P(0,1≤X≤0,5) + P(0,5≤X≤1) = 1\), assim:

\(P(0≤X≤1)\)= \(0,1\)% + \(12,4\)% + \(87,5\)% = \(100\)% → (probabilidade total)

Esta ideia da complementariedade dos intervalos pode ser interessante quando é mais simples ou útil calcular a probabilidade de um evento complementar do que a probabilidade do próprio evento.
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