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Subespaços estáveis

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perguntada Mar 7 em Economia por CICERO FILHO (26 pontos)  
editado Mai 24 por CICERO FILHO

Seja V o espaço dos polinômios com coeficientes reais cujo grau não exceda n. Seja T a transformação linear em V que envia P para sua derivada. Encontre todos os subespaços de V que são estáveis sob T.

Referência: Exercício 6 do capítulo 5, item 5.1.1 do livro “Essential Linear Algebra with Applications” do autor Titu Andreescu.

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1 Resposta

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respondida Mar 8 por CICERO FILHO (26 pontos)  
editado Mar 8 por CICERO FILHO

O mapa T: V → V é uma transformação linear. Assim V é igual a:

\[P_{n} (x),\] que é um polinômio com coeficientes reais e cujo grau não excede n.

\[T(p(x))=p´(x)\]

O subespaço S é estável se:

\[T(S) \subseteq{S}\]

Então:

\[P_1 (x)\]
\[P_2 (x)\]
\[\vdots\]
\[P_n (x),\]

são os subespaços estáveis de:

\[ P_n (x).\]

Tendo em vista que a derivada de p(x) reduz o grau para 1.

Logo, os subespaços de V, que são estáveis sob T, são dados por:

\[T(P_n (x))= P_{n-1} (x) \subseteq{P_n (x)}.\]

Portanto:

\[T(P_1 (x))= P_0 (x) \subseteq{P_1 (x)}\]

\[T(P_2 (x))= P_1 (x) \subseteq{P_2 (x)}\]

\[T(P_3(x))= P_2 (x) \subseteq{P_3 (x)}\]

\[\vdots\]

\[T(P_n (x))= P_{n-1} (x) \subseteq{ P_n (x)}\]

comentou Mai 14 por João Pedro Heringer (21 pontos)  
Gostei dessa resolução pela sua simplicidade e por ter sido direta ao ponto. Acho que o máximo que posso fazer para contribuir é deixar uma demonstração de porque a derivada é uma transformação linear. Em primeiro lugar uma transformação linear atende os seguintes requisitos:

i)\(T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)\)
ii)\(T(\alpha v)=\alpha T(v)\)

A primeira é a regra da soma:

\[\frac{d(f(x)+g(x))}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}\]

Enquanto a segunda é a regra de multiplicação por uma constante:

\[\frac{d(\alpha f)}{dx}=\alpha\frac{df}{dx}\]
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