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Exercício 7 da Seção 5.3.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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perguntada Mar 8 em Matemática por Fabio Fujita (6 pontos)  
editado Mar 8 por Fabio Fujita

Seja \[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]
e considere o mapa \( T: M_2(C) \rightarrow M_2(C) \) definido por \( T(B) = AB-BA \).

a) Prove que T é linear.
b) Encontre a matriz de T relativa à base canônica de \( M_2(C) \).

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1 Resposta

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respondida Mar 8 por Fabio Fujita (6 pontos)  

a) Prove que T é linear

Provamos que T é linear se:
1. \( T(B+C) = T(B)+T(C) \), para B e C \( \in \) \( M_2(C)\), e
2. \( T(\alpha C) = \alpha T(C) \), para C \( \in \) \( M_2(C)\) e o escalar \( \alpha \).

Juntando as duas condições, provamos que T é linear se:

\( T(B+\alpha C) = T(B)+ \alpha T(C) \), para B e C \( \in \) \( M_2(C)\) e o escalar \( \alpha \).

A questão define \( T(B) = AB-BA \).

Temos então que:
\( T(B+\alpha C) \)
\( = A(B+\alpha C) - (B+\alpha C)A \)
\( = AB+A\alpha C - BA-\alpha CA \)
\( = AB - BA +\alpha A C -\alpha CA \)
\( = AB - BA +\alpha (A C - CA) \)
\( = T(B)+ \alpha T(C) \)

Provamos, portanto, que T é linear, sendo que no desenvolvimento da prova utilizamos somente as propriedades básicas de operações com matrizes.

b) Encontre a matriz de T relativa à base canônica de \( M_2(C) \).

A base canônica de \( M_2(C) \) é dada por {\( M^1, M^2, M^3, M^4 \)}, onde:

\[ M^1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]
\[ M^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]
\[ M^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]
\[ M^4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Com combinações das quatro matrizes, podemos expressar qualquer matriz \( \in M_2 (C) \) na forma \( \alpha_1M^1 + \alpha_2M^2 + \alpha_3M^3 + \alpha_4M^4 \), com \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in C \).

Para encontrarmos a matriz de T relativa à base canônica de \( M_2(C) \), fazemos:

\( T(M^1) = AM^1 - M^1A \)
\[ T(M^1) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \]

\( T(M^2) = AM^2 - M^2A \)
\[ T(M^2) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]

\( T(M^3) = AM^3 - M^3A \)
\[ T(M^3) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \]

\( T(M^4) = AM^4 - M^4A \)
\[ T(M^4) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \]

Assim:
\( T(M^1) = 0.M^1 -2.M^2 + 2.M^3 + 0.M^4 \)
\( T(M^2) = -2.M^1 +0.M^2 + 0.M^3 + 2.M^4 \)
\( T(M^3) = 2.M^1 +0.M^2 + 0.M^3 -2.M^4 \)
\( T(M^4) = 0.M^1 + 2.M^2 - 2.M^3 + 0.M^4 \)

Logo, a matriz T relativa à base canônica de \( M_2(C) \) é obtida colocando-se os escalares \( \alpha_i \) de cada uma das transformações dos elementos da base nas colunas correspondentes, sendo dada por:
\[ \begin{bmatrix} 0 & -2 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \end{bmatrix} \]

...