Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

O que é mais provável: 9 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa ou 18 caras em 20 lançamentos?

0 votos
52 visitas
perguntada Mar 8 em Estatística por Fabio Fujita (6 pontos)  

Solução do Exercício 12 do Capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice (3ª Edição).

Compartilhe

1 Resposta

+1 voto
respondida Mar 8 por Fabio Fujita (6 pontos)  
editado Mar 9 por Fabio Fujita

Como a moeda é justa, sabemos que os lançamentos são independentes, que temos apenas dois resultados possíveis ("cara" ou "coroa") e que a probabilidade de observarmos "cara" após um lançamento é constante.

Nessas condições, podemos utilizar a distribuição binomial para avaliar a probabilidade de observação de exatamente k eventos "cara" em n lançamentos da moeda. Pela distribuição binomial, sendo p a probabilidade de "cara" e (1-p) a probabilidade de "coroa", sabemos que a probabilidade de observação de exatamente k eventos "cara" é dada por:

\[ P(k)=\binom{n}{k}.p^k.(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.p^k.(1-p)^{n-k} \]

Como a moeda é justa, sabemos que \( p=(1-p)=\frac{1}{2} \) . Substituindo essas probabilidades na distribuição binomial, temos:

\[ P(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}. \left( \frac{1}{2} \right)^k .\left( \frac{1}{2} \right)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} .\left( \frac{1}{2} \right)^n\]

Probabilidade de 9 "caras" em 10 lançamentos:

\[ P(k=9)= \frac{10!}{9!(10-9)!} .\left( \frac{1}{2} \right)^{10} =\frac{5}{512} \approx 0,009766 \]

Probabilidade de 18 "caras" em 20 lançamentos:

\[ P(k=18)= \frac{20!}{18!(20-18)!} .\left( \frac{1}{2} \right)^{20} =\frac{95}{524288} \approx 0,000181 \]

Concluímos, portanto, ser mais provável a observação de 9 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa do que 18 caras em 20 lançamentos.

OBSERVAÇÃO COM BASE NOS COMENTÁRIOS:
A solução apresentada considera que o objeto de interesse é a comparação das probabilidades de observação de exatamente 9 caras em 10 lançamentos e exatamente 18 caras em 20 lançamentos da moeda justa (apesar de não estar explícito no enunciado).

Caso o interesse seja a comparação das probabilidades de observação de pelo menos 9 caras em 10 lançamentos e pelo menos 18 caras em 20 lançamentos, seria necessário comparar \( P(k=9)+P(k=10) \) com n=10, e \( P(k=18)+P(k=19)+P(k=20) \) com n=20.

A opção pela interpretação foi por considerar que no enunciado “O que é mais provável: 9 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa ou 18 caras em 20 lançamentos?”, a ausência de algum indicativo de que devemos comparar as probabilidades de observarmos “PELO MENOS” k caras em n lançamentos é mais relevante do que a ausência de alguma expressão equivalente a “EXATAMENTE”.

comentou Mar 9 por Bernardo Mendes (1 ponto)  
Excelente apresentação, Fábio! Gostei bastante da forma funcional em que você reduziu o problema e a partir dela desenvolveu os dois casos, isto é: \(\frac{n!}{k!(n-k)!}.(\frac{1}{2})^n\).

Acredito que a resposta final está certa.  Ou seja, \(P(k\geq9)>P(k\geq18) \). Contudo, como o problema não indica se o jogador deve obter exatamente 9 caras em 10 lançamentos ou exatamente 18 caras em 20 lançamentos, acho que você deveria incluir os casos \(P(k=10)\) no primeiro cálculo de probabilidade e \(P(k=19), P(k=20)\) no segundo cálculo. Realizando essas contas, notei que o resultado final não se altera. Pois:
\[P(k=10) = \frac{10!}{10!0!} . (\frac{1}{2})^{10} \approx 0,00097656\]

Somado com o caso \(P(k=9)\) temos \(P(k\geq 9) \approx 0,010742\)

Para o segundo caso?

\[P(k\geq18) = P(k=18) + P(k=19) +P(k=20)\]
\[P(k\geq18) = 0,000181 + \frac{20!}{19!} . (\frac{1}{2})^{20} + \frac{20!}{20!}. (\frac{1}{2})^{20}\]

\[P(k\geq 18) \approx 0,000201\]
comentou Mar 9 por Fabio Fujita (6 pontos)  
Obrigado pelo comentário, Bernardo!

De fato, a questão não é explícita em solicitar a comparação das probabilidades de observarmos “EXATAMENTE” 9 caras em 10 lançamentos e “EXATAMENTE” 18 caras em 20 lançamentos.

No entanto, a maneira que interpretei e resolvi o exercício foi por entender que quando foi questionado “O que é mais provável: 9 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa ou 18 caras em 20 lançamentos?”, a ausência de algum indicativo de que devemos comparar a probabilidade de observarmos “PELO MENOS” k caras em n lançamentos é mais relevante do que a ausência de alguma expressão equivalente a “EXATAMENTE” no enunciado.

Esclareci a interpretação no final da solução, no campo “OBSERVAÇÃO COM BASE NOS COMENTÁRIOS”.
...