a)
A função de frequência de Poisson com parâmetro \(\lambda\) > 0 pode ser obtida como o limite de uma distribuição binomial a qual o número de tentativas, \(n\), se aproxima do infinito e a probabilidade de sucesso em cada tentativa, \(p\), se aproxima de zero de tal forma que \(\lambda = np\) (Valor esperado da distribuição binomial). A função frequência binomial é:
\[p(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k*(1-p)^{n-k}\]
substituindo \(np = \lambda\)
\[p(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^k(1- \frac{\lambda}{n})^{n-k}\]
\[p(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\]
Quando \( n \rightarrow \infty\),
\[\frac{\lambda}{n} \rightarrow 0\]
\[\frac{n!}{(n-k)!n^k} \rightarrow 1\]
\[(1 - \frac{\lambda}{n})^n\rightarrow e^{-\lambda}\]
\[(1 - \frac{\lambda}{n})^{-k}\rightarrow 1\]
E assim obtemos a função que vai auxiliar na solução do nosso problema:
\[P( X=k) = \frac{{e^{ - \lambda } \lambda ^k}}{{k!}}, k=0,1,2,....; \lambda>0 \]
Uma vez que \(e^\lambda = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\), segue que a função frequência soma 1
Seguindo para a solução do problema, precisamos adequar o \(\lambda = 2\) por hora para a medida de tempo que estamos trabalhando, no caso, minutos.
Em uma hora existem 6 períodos de 10 minutos: \[ \lambda = 2 * \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\] para cada 10 minutos
Avaliando a Probabilidade dela receber 0 ligações no período de tempo, isto é, o complementar do nosso problema, basta substituir os parâmetros na função de frequência Poisson obtida acima e temos:
\[P(X = 0) = e^\frac{-1}{3} \approx 0,7165\]
Definida a probabilidade complementar, basta usar a relação entre probabilidades complementares e calcular \(P(X\geq1)\):
\[P(A^c) = 1 - P(A) \Rightarrow P(X\geq 1) = 1 - P(X = 0) \approx 0,2835 \]
b) A variável a ser encontrada passa a ser o tempo de banho. Logo, temos que definir lambda em função de outra variável que nos indique qual a fração de hora gasta no banho.
\[ \lambda = 2*\frac{y}{60} = \frac{y}{30}\]
Definido o lambda, partimos para o cálculo da probabilidade de receber 0 ligações:
\[ P(X=0) = \frac {(\frac{y}{30})^0 e^\frac{-y}{30}}{0!} = e ^ \frac{-y}{30} \]
Queremos que a probabilidade seja no máximo \(\frac{1}{2}\). \(P(X=0) \leq \frac{1}{2}\) deverá valer com igualdade. Portanto:
\[e^\frac{-y}{30} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln (e^\frac{-y}{30}) = ln(\frac{1}{2})\]
\[\frac{-y}{30} = ln(\frac{1}{2}) \Rightarrow y = - 30*ln(\frac{1}{2}) \]
\(y\approx 20,79\) minutos