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Um problema de distribuição Poisson e ligações telefônicas

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perguntada Mar 8 em Estatística por Bernardo Mendes (21 pontos)  
editado Mai 24 por Bernardo Mendes

Questão 31 John A. Rice - Capítulo 2

Uma residência recebe ligações telefônicas de acordo com um processo de Poisson de parâmetro lambda = 2 por hora.

a) Se Diane toma banho por 10 minutos, qual a probabilidade de seu telefone tocar nesse período?

b) Por quanto tempo ela pode tomar banho se ela deseja que a probabilidade de não receber ligações seja no máximo 0,5?

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1 Resposta

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respondida Mar 8 por Bernardo Mendes (21 pontos)  
editado Mar 9 por Bernardo Mendes

a)
A função de frequência de Poisson com parâmetro \(\lambda\) > 0 pode ser obtida como o limite de uma distribuição binomial a qual o número de tentativas, \(n\), se aproxima do infinito e a probabilidade de sucesso em cada tentativa, \(p\), se aproxima de zero de tal forma que \(\lambda = np\) (Valor esperado da distribuição binomial). A função frequência binomial é:

\[p(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}p^k*(1-p)^{n-k}\]

substituindo \(np = \lambda\)

\[p(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}(\frac{\lambda}{n})^k(1- \frac{\lambda}{n})^{n-k}\]

\[p(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-k}\]

Quando \( n \rightarrow \infty\),

\[\frac{\lambda}{n} \rightarrow 0\]

\[\frac{n!}{(n-k)!n^k} \rightarrow 1\]

\[(1 - \frac{\lambda}{n})^n\rightarrow e^{-\lambda}\]

\[(1 - \frac{\lambda}{n})^{-k}\rightarrow 1\]

E assim obtemos a função que vai auxiliar na solução do nosso problema:

\[P( X=k) = \frac{{e^{ - \lambda } \lambda ^k}}{{k!}}, k=0,1,2,....; \lambda>0 \]

Uma vez que \(e^\lambda = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\), segue que a função frequência soma 1

Seguindo para a solução do problema, precisamos adequar o \(\lambda = 2\) por hora para a medida de tempo que estamos trabalhando, no caso, minutos.
Em uma hora existem 6 períodos de 10 minutos: \[ \lambda = 2 * \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\] para cada 10 minutos

Avaliando a Probabilidade dela receber 0 ligações no período de tempo, isto é, o complementar do nosso problema, basta substituir os parâmetros na função de frequência Poisson obtida acima e temos:

\[P(X = 0) = e^\frac{-1}{3} \approx 0,7165\]

Definida a probabilidade complementar, basta usar a relação entre probabilidades complementares e calcular \(P(X\geq1)\):
\[P(A^c) = 1 - P(A) \Rightarrow P(X\geq 1) = 1 - P(X = 0) \approx 0,2835 \]

b) A variável a ser encontrada passa a ser o tempo de banho. Logo, temos que definir lambda em função de outra variável que nos indique qual a fração de hora gasta no banho.

\[ \lambda = 2*\frac{y}{60} = \frac{y}{30}\]

Definido o lambda, partimos para o cálculo da probabilidade de receber 0 ligações:
\[ P(X=0) = \frac {(\frac{y}{30})^0 e^\frac{-y}{30}}{0!} = e ^ \frac{-y}{30} \]

Queremos que a probabilidade seja no máximo \(\frac{1}{2}\). \(P(X=0) \leq \frac{1}{2}\) deverá valer com igualdade. Portanto:
\[e^\frac{-y}{30} = \frac{1}{2} \Rightarrow ln (e^\frac{-y}{30}) = ln(\frac{1}{2})\]
\[\frac{-y}{30} = ln(\frac{1}{2}) \Rightarrow y = - 30*ln(\frac{1}{2}) \]
\(y\approx 20,79\) minutos

comentou Mar 10 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 10 por Maria Salete
Achei a resolução super detalhada e muito bem feita. Gostei bastante do fato que você apresentou o  teorema que mostra que a Distribuição de Poisson é um  limite de uma distribuição  binomial de parâmetros \(p\) e \(n\) quando \(n\)  tende a infinito e \(p\)  tende a zero. Ótima resolução!

A Letra A resolvi da mesma forma.  A letra B eu resolvi de forma levemente diferente, achando o tempo em horas, de forma que acaba sendo, praticamente, igual a sua resolução.

Defini \(X\) como o número de ligações que ela recebe e \(w\)  como o número de horas que ela pode tomar banho para que a probabilidade de não receber ligações seja no máximo 0,5. Dessa forma:
 
\(P(X=0)≤0,5\)

\(P(X=0) = \frac{{e^{ - 2.w } . 2 ^0}}{{0!}}\)    

Aplicando  \(Ln\) nos dois lados,

\( -2w. ln (e) \leq ln(0,5)\)

\( -2w  \leq -0,693\)

\( w  \leq 0,3465 \) horas

Convertendo,  ela pode pode tomar banho por, aproximadamente, e, no máximo,  \(20\) minutos e \(47\) segundos.
comentou Mai 23 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
Seria interessante evitar colocar a referência a fonte da questão no título, mas sim colocar o enunciado ou um título ou uma manchete para a questão.
comentou Mai 24 por Bernardo Mendes (21 pontos)  
Agradeço pelo feedback, professor. Sugestão aplicada.
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