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Encontre a intersecção e a soma de dois subespaços bidimensionais distintos do espaço \(V_3\) ( dois planos distintos passando através da origem das coordenadas).

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perguntada Mar 8 em Matemática por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  

Encontre a intersecção e a soma de dois subespaços bidimensionais distintos do espaço \(V_3\) ( dois planos distintos passando através da origem das coordenadas).

Exercício nº 9 do capítulo 2 do Livro “Linear Algebra" de Georgi E. Shilov.

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1 Resposta

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respondida Mar 10 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
republicada Mai 3 por Luiz Guilherme Hass

Primeiro vamos definir subespaços vetoriais, que são subconjuntos de um espaço vetorial.

Seja \(V\) um espaço vetorial. O subconjunto \(W ⊂ V \) é um subespaço vetorial de \(V\) se:
-> \(0 ∈ W \) , ou seja, passa pela origem das coordenadas
-> \(W\) é fechado na soma: \(w , v ∈ W → w + v ∈ W \)
-> \(W\) é fechado para a multiplicação por escalar:\(λ ∈ R, w ∈ W → λw ∈ W \)

Tratando-se do espaço de 3 dimensões \(V_3\), os únicos subespaços vetoriais são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e sejam fechados na soma e na multiplicação por escalar, além do próprio espaço \(V_3\).

Os subespaços vetoriais \(W\) em \(V_3\) são representados por \(W = \{ (x,y,z) : x + y + z = 0\} \).

Tratemos agora da intersecção de dois subespaços vetoriais de \(V_3\).

Dados \(W\) e \(U \) subespaços distintos do espaço vetorial \(V_3\).

-> \(0 ∈ W \) (passa na origem)
-> \(w + v ∈ W\) (fechados na soma)
-> \(λv ∈ W\) (fechados na multiplicação por escalar)

-> \(0 ∈ U \) (passa na origem)
-> \(u + v ∈ U\) (fechados na soma)
-> \(λv ∈ U\) (fechados na multiplicação por escalar)

portanto,

-> \(0 ∈ W ∩ V \)
-> \(w + v ∈ W ∩ V\)
-> \(λv ∈ W ∩ V\)

-> \(0 ∈ U ∩ V \)
-> \(u + v ∈ U ∩ V\)
-> \(λv ∈ U ∩ V\)

A intersecção dos subespaços \(W\) e \(U\) é um subespaço vetorial de\(V_3\).

Intersecção de dois planos:

Dados os subespaços bidimensionais em \(V_3\):

\(U = \{(x,y,0)\}\) , ou seja, \(z_u = 0\)
\(W = \{(x,0,z)\}\), ou seja, \(y_w = 0\)

a intersecção de \(U\) e \(W\) é :

\(U ∩ W\) = \(\{x\}\),

ou seja, a intersecção dos planos \(xy\) e \(xz\) é o eixo \(x\), que de fato, é um subespaço vetorial de \(V_3\).

A mesma ideia vale para a intersecção dos outros planos em \(V_3\):
->a intersecção dos planos \(xy\) e \(yz\) é o eixo \(y\)
->a intersecção dos planos \(xz\) e \(yz\) é o eixo \(z\),

conclui-se que a intersecção de dois planos distintos é sempre uma reta.

Assim,

\(dim(U) = 2\) → plano
\(dim(W) = 2\) → plano
\(dim(U ∩ W ) = 1\) → reta

A intersecção de dois planos (subespaços bidimensionais) distintos em \(V_3\) é uma reta (subespaço unidimensional).

Tratemos agora da soma de subespaços vetoriais.

Temos os subespaços \(U\) e \(W\) no espaço \(V_3\):

A soma de \(U\) e \(W\), denotada por \(U + W\), consiste em todas as somas \(u + w\), com \(u ∈ U\) e \(w ∈ W\).

\(U + W\) = { u + w : u ∈ U , w ∈ W) }

A soma dos subespaços vetoriais \(U + W\) é um subespaço vetorial.

A dimensão da soma dos dois subespaços será:

\(dim(U + W ) =\) \(dim\) \((U)\) + \(dim\) \((W)\) - \(dim (U ∩ W)\)

Temos que:

\(dim\) \((U) = 2\)
\(dim\) \((W) = 2\)
\(dim (U ∩ W) = 1\)

\(dim(U + W ) = 2 + 2 - 1 = 3\)

\(dim(U + W ) = 3 = dim(V_3)\)

A soma dos subespaços é um subespaço vetorial tridimensional, ou seja, é o próprio espaço vetorial \(V_3\).

Todos os subespaços vetoriais estarão contidos na soma dos subespaços \(U\) e \(W\), já que a soma deles é o próprio espaço vetorial \(V_3\), que por sua vez, é o maior subespaço vetorial que pode ser encontrado.

Portanto, a soma de dois planos distintos no espaço \(V_3\) é o espaço inteiro.

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