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Encontre a intersecção e a soma de dois subespaços bidimensionais distintos do espaço \(V_3\) ( dois planos distintos passando através da origem das coordenadas).

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perguntada Mar 8 em Matemática por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  

Encontre a intersecção e a soma de dois subespaços bidimensionais distintos do espaço \(V_3\) ( dois planos distintos passando através da origem das coordenadas).

Exercício nº 9 do capítulo 2 do Livro “Linear Algebra" de Georgi E. Shilov.

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1 Resposta

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respondida Mar 10 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
editado Mar 10 por Luiz Guilherme Hass

Primeiro vamos definir subespaços vetoriais, que são subconjuntos de um espaço vetorial.

Seja \(V\) um espaço vetorial. O subconjunto \(W ⊂ V \) é um subespaço vetorial de \(V\) se:
-> \(0 ∈ W \) , ou seja, passa pela origem das coordenadas
-> \(W\) é fechado na soma: \(w , v ∈ W → w + v ∈ W \)
-> \(W\) é fechado para a multiplicação por escalar:\(λ ∈ R, w ∈ W → λw ∈ W \)

Tratando-se do espaço de 3 dimensões \(V_3\), os únicos subespaços vetoriais são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e sejam fechados na soma e na multiplicação por escalar, além do próprio espaço \(V_3\).

Os subespaços vetoriais \(W\) em \(V_3\) são representados por \(W = \{ (x,y,z) : x + y + z = 0\} \).

Tratemos agora da intersecção de dois subespaços vetoriais de \(V_3\).

Dados \(W\) e \(U \) subespaços distintos do espaço vetorial \(V_3\).

-> \(0 ∈ W \) (passa na origem)
-> \(w + v ∈ W\) (fechados na soma)
-> \(λv ∈ W\) (fechados na multiplicação por escalar)

-> \(0 ∈ U \) (passa na origem)
-> \(u + v ∈ U\) (fechados na soma)
-> \(λv ∈ U\) (fechados na multiplicação por escalar)

portanto,

-> \(0 ∈ W ∩ V \)
-> \(w + v ∈ W ∩ V\)
-> \(λv ∈ W ∩ V\)

-> \(0 ∈ U ∩ V \)
-> \(u + v ∈ U ∩ V\)
-> \(λv ∈ U ∩ V\)

A intersecção dos subespaços \(W\) e \(U\) é um subespaço vetorial de\(V_3\).

Intersecção de dois planos:

Dados os subespaços bidimensionais em \(V_3\):

\(U = \{(x,y,0)\}\) , ou seja, \(z_u = 0\)
\(W = \{(x,0,z)\}\), ou seja, \(y_w = 0\)

a intersecção de \(U\) e \(W\) é :

\(U ∩ W\) = \(\{x\}\),

ou seja, a intersecção dos planos \(xy\) e \(xz\) é o eixo \(x\), que de fato, é um subespaço vetorial de \(V_3\).

A mesma ideia vale para a intersecção dos outros planos em \(V_3\):
->a intersecção dos planos \(xy\) e \(yz\) é o eixo \(y\)
->a intersecção dos planos \(xz\) e \(yz\) é o eixo \(z\),

conclui-se que a intersecção de dois planos distintos é sempre uma reta.

Assim,

\(dim(U) = 2\) → plano
\(dim(W) = 2\) → plano
\(dim(U ∩ W ) = 1\) → reta

A intersecção de dois planos (subespaços bidimensionais) distintos em \(V_3\) é uma reta (subespaço unidimensional).

Tratemos agora da soma de subespaços vetoriais.

Temos os subespaços \(U\) e \(W\) no espaço \(V_3\):

A soma de \(U\) e \(W\), denotada por \(U + W\), consiste em todas as somas \(u + w\), com \(u ∈ U\) e \(w ∈ W\).

\(U + W\) = { u + w : u ∈ U , w ∈ W) }

A soma dos subespaços vetoriais \(U + W\) é um subespaço vetorial.

A dimensão da soma dos dois subespaços será:

\(dim(U + W ) =\) \(dim\) \((U)\) + \(dim\) \((W)\) - \(dim (U ∩ W)\)

Temos que:

\(dim\) \((U) = 2\)
\(dim\) \((W) = 2\)
\(dim (U ∩ W) = 1\)

\(dim(U + W ) = 2 + 2 - 1 = 3\)

\(dim(U + W ) = 3 = dim(V_3)\)

A soma dos subespaços é um subespaço vetorial tridimensional, ou seja, é o próprio espaço vetorial \(V_3\).

Todos os subespaços vetoriais estarão contidos na soma dos subespaços \(U\) e \(W\), já que a soma deles é o próprio espaço vetorial \(V_3\), que por sua vez, é o maior subespaço vetorial que pode ser encontrado.

Portanto, a soma de dois planos distintos no espaço \(V_3\) é o espaço inteiro.

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