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Exercício 7.4.1 - "Matrix Algebra from a Statistician's Perspective" - David A. Harville

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perguntada Mar 9 em Economia por Mateus Hiro Nagata (11 pontos)  
recategorizado Mar 9 por Mateus Hiro Nagata

a) Seja \(A \) uma matriz \(m \times n\), \(C\) uma matriz \(n \times q\) e \(B\) um matriz \(q \times p\). Mostre que se o \(rank(AC) = rank(C)\), então \( \mathcal{R} (ACB) = \mathcal{R} (CB)\) e, ademais, \( rank(ACB) = rank(CB) \).

De modo similar, mostre que se \(rank(CB) = rank(C)\), então \( \mathcal{C}(ACB) = \mathcal(AC) \) e, ademais, \(rank(ACB) = rank(AC)\).

Estendendo assim, o resultado do Corolário 4.4.7, Teorema 7.4.3 e do Corolário 7.4.4.

Sendo que \(rank(A)\) é o posto da matriz \(A\), \( \mathcal{R}(A)\) é o espaço linha de \(A\) e \( \mathcal{C}(A)\) é o espaço coluna da matriz \(A \).

b) Seja \(A\) e \(B \) matrizes \(m \times\ n\).

  1. Mostre que se \(C\) é uma matriz \(r \times q\) e \(D \) e uma matriz \(q \times m\), tais que \(rank(CD) = rank(D) \), então \(CDA = CDB\) implica em \(DA = DB\), estendendo assim o resultado da parte 1 do corolário 5.3.3. [Dica. Para mostrar que \(DA = DB\), é suficiente mostrar que \(rank(D(A-B)) = 0\)].

  2. De modo similar, mostre que se \(C\) é uma matriz e \(D\) uma matriz tais que \(rank(CD) = rank(C)\), então \(ACD = BCD\) implica em \(AC = BC\), dessa forma extendendo a parte 2 do corolário 5.3.3.

Apêndice:

Corolário 4.4.7: Seja \(A\) matriz \( m \times n \) e \(F\) matriz \(n \times p\). Se \(rank(AF) = rank(A) \), então \( \mathcal{C}(AF) = \mathcal{C}(A) \). De modo similar, se \(rank(AF) = rank(F) \), então \( \mathcal{R}(AF) = \mathcal{R}(F) \).

Corolário 5.3.3: (1) Seja \(A\) matriz \( m \times n\) e B e C matrizes \(n \times p\).
Nesse contexto, \(AB = AC\) se, e somente se \(A'AB = A'AC\).
(2) De modo similar, \(A\) matriz \( m \times n \) e B e C matrizes \(p \times n\).
Nesse contexto, \(BA' = CA'\) se, e somente se \(BA'A = CA'A).

Teorema 7.4.3: Para quaisquer \(A\) matriz \(m \times n\) e \(T\) matriz \(n \times s\), \(\mathcal{C}(T'A'A) = \mathcal{C}(T'A')\) e \(\mathcal{R}(A'AT) = \mathcal{R}(AT)\).

Corolário 7.4.4: Para quaisquer \(A\) matriz \(m \times n\) e \(T\) matriz \(n \times s\), \(rank(T'A'A) = rank(T'A')\) e \(rank(A'AT) = rank(AT)\).

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