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Relação Entre o Rank de Multiplicação de Matrizes e seus Espaço-Coluna

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perguntada Mar 9 em Estatística por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
editado Mai 21 por Mateus Hiro Nagata

[Exercício retirado do livro Matrix Algebra from a Statistician's Perspective - Exercício 7.4.1 - David A. Harville]

a) Seja \(A \) uma matriz \(m \times n\), \(C\) uma matriz \(n \times q\) e \(B\) um matriz \(q \times p\). Mostre que se o \(rank(AC) = rank(C)\), então \( \mathcal{R} (ACB) = \mathcal{R} (CB)\) e, ademais, \( rank(ACB) = rank(CB) \).

De modo similar, mostre que se \(rank(CB) = rank(C)\), então \( \mathcal{C}(ACB) = \mathcal{C}(AC) \) e, ademais, \(rank(ACB) = rank(AC)\).

Estendendo assim, o resultado do Corolário 4.4.7, Teorema 7.4.3 e do Corolário 7.4.4.

Sendo que \(rank(A)\) é o posto da matriz \(A\), \( \mathcal{R}(A)\) é o espaço linha de \(A\) e \( \mathcal{C}(A)\) é o espaço coluna da matriz \(A \).

b) Seja \(A\) e \(B \) matrizes \(m \times\ n\).

  1. Mostre que se \(C\) é uma matriz \(r \times q\) e \(D \) e uma matriz \(q \times m\), tais que \(rank(CD) = rank(D) \), então \(CDA = CDB\) implica em \(DA = DB\), estendendo assim o resultado da parte 1 do corolário 5.3.3. [Dica. Para mostrar que \(DA = DB\), é suficiente mostrar que \(rank(D(A-B)) = 0\)].

  2. De modo similar, mostre que se \(C\) é uma matriz e \(D\) uma matriz tais que \(rank(CD) = rank(C)\), então \(ACD = BCD\) implica em \(AC = BC\), dessa forma extendendo a parte 2 do corolário 5.3.3.

Apêndice:

Corolário 4.4.7: Seja \(A\) matriz \( m \times n \) e \(F\) matriz \(n \times p\). Se \(rank(AF) = rank(A) \), então \( \mathcal{C}(AF) = \mathcal{C}(A) \). De modo similar, se \(rank(AF) = rank(F) \), então \( \mathcal{R}(AF) = \mathcal{R}(F) \).

Corolário 5.3.3: (1) Seja \(A\) matriz \( m \times n\) e B e C matrizes \(n \times p\).
Nesse contexto, \(AB = AC\) se, e somente se \(A'AB = A'AC\).
(2) De modo similar, \(A\) matriz \( m \times n \) e B e C matrizes \(p \times n\).
Nesse contexto, \(BA' = CA'\) se, e somente se \(BA'A = CA'A).

Teorema 7.4.3: Para quaisquer \(A\) matriz \(m \times n\) e \(T\) matriz \(n \times s\), \(\mathcal{C}(T'A'A) = \mathcal{C}(T'A')\) e \(\mathcal{R}(A'AT) = \mathcal{R}(AT)\).

Corolário 7.4.4: Para quaisquer \(A\) matriz \(m \times n\) e \(T\) matriz \(n \times s\), \(rank(T'A'A) = rank(T'A')\) e \(rank(A'AT) = rank(AT)\).

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1 Resposta

+1 voto
respondida Mai 21 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  

a)
Para a primeira parte, pelo teorema

Usaremos 5 resultados para a solução:

Corolário 4.2.3: Seja \(A\) matriz \(m \times n\) e \(F\) matriz \(n \times p\), então \(\mathcal{C}(AF) \subset \mathcal{C}(F)\). De modo similar, para \(A\) matriz \(m \times n\) e \(L\) matriz \(q \times m\), então \(\mathcal{R}(LA) \subset \mathcal{R}(A)\).

Corolário 4.2.4: Seja \(A_{m\times n}\), \(E_{n\times k}\),\(F_{n\times p}\),\(L_{q\times m}\) e \(T_{s \times m}\).

  • Se \(\mathcal{C}(E) \subset \mathcal{C}(F)\), então \(\mathcal{C}(AE) \subset \mathcal{C}(AF)\) e se \(\mathcal{C}(E) = \mathcal{C}(F)\), então \(\mathcal{C}(AE) = \mathcal{C}(AF)\).
  • Se \(\mathcal{R}(L) \subset \mathcal{R}(T)\), então \(\mathcal{R}(LA) \subset \mathcal{R}(TA)\) e se \(\mathcal{R}(L) = \mathcal{R}(T)\), então \(\mathcal{R}(LA) = \mathcal{R}(TA)\).

Teorema 4.4.4: Seja \(A\) matriz \(m \times n\), \(B\) matriz \(m \times p\), \(C\) matriz \(q \times n\). Se \(\mathcal{C}(B) \subset \mathcal{C}(A)\), então \(rank(B) \leq rank(A)\). De modo similar, se \(\mathcal{R}(C) \subset \mathcal{R}(A)\), então \(rank(C) \leq rank(A)\).

Corolário 4.4.5: Para qualquer \(A\) matriz \(m \times n\) e \(F\) matriz \(n \times p\), o \(rank(AF) \leq rank(A)\) e \(rank(AF) \leq rank(F)\).

Teorema 4.4.6: Seja \(A, B, C \) matrizes respectivamente \(m \times n\), \(m \times p\) e \(q \times n\). Se \(\mathcal{C}(B) \subset \mathcal{C}(A)\) e \(rank(B) = rank(A)\), então \(\mathcal{C}(B) = \mathcal{C}(A)\). Similarmente, se \(\mathcal{R}(C) \subset \mathcal{R}(A)\) e \(rank(C) = rank(A)\), então \(\mathcal{R}(C) = \mathcal{R}(A)\).

Para provar a igualdade de dois conjuntos basta provar que um está contido no outro e vice-versa. Pelo Corolário 4.2.3, temos que \(\mathcal{R}(ACB) \subset \mathcal{R}(CB)\). Dessa forma, basta provarmos \(\mathcal{R}(ACB) \supset \mathcal{R}(CB)\).

Sabendo que \(rank(AC) = rank(C)\), usamos o Teorema 4.4.6 para dizer que, então sabemos que \(\mathcal{R}(AC) = \mathcal{R}(C)\). Dessa forma, pelo corolário 4.2.4 podemos dizer que \(\mathcal{R}(ACB) = \mathcal{R}(CB)\).

Agora vamos resolver para os ranks. Pelo Teorema 4.4.4, sabemos que \(rank(ACB) \leq rank(CB)\), pois \(\mathcal{R}(ACB) \subset \mathcal{R}(CB) \) (em particular, \(\mathcal{R}(ACB) = \mathcal{R}(CB)\)) . Também sabemos que que \(rank(ACB) \geq rank(CB)\), pois \(\mathcal{R}(ACB) \supset \mathcal{R}(CB)\) (em particular, \(\mathcal{R}(ACB) = \mathcal{R}(CB)\)).

Provamos assim para os espaços-linha. Para os espaços-coluna, a prova é equivalente.

Pelo Corolário 4.2.3, temos que \( \mathcal{C}(ACB) \subset \mathcal{C}(CB)\). Dessa forma, basta provarmos \(\mathcal{C}(ACB) \supset \mathcal{C}(CB)\).

Sabendo que \(rank(AC) = rank(C)\), com o Teorema 4.4.6 sabemos que \(\mathcal{C}(AC) = \mathcal{C}(C)\). Dessa forma, pelo corolário 4.2.4 podemos dizer que \(\mathcal{C}(ACB) = \mathcal{C}(CB)\).

Agora vamos resolver para os ranks. Pelo Teorema 4.4.4, sabemos que \(rank(ACB) \leq rank(CB)\), pois \(\mathcal{C}(ACB) \subset \mathcal{C}(CB) \) (em particular, \(\mathcal{C}(ACB) = \mathcal{C}(CB)\)) . Também sabemos que que \(rank(ACB) \geq rank(CB)\), pois \(\mathcal{R}(ACB) \supset \mathcal{C}(CB) \) (em particular, \( \mathcal{C}(ACB) = \mathcal{C}(CB) \)).

b)

Temos que \(rank(CD)=rank(D) \) e \(CDA=CDB\). Queremos mostrar que isso implica em \( rank(D(A - B))=0\).

Como \(CDA - CDB = 0\), então

\[ rank(CDA-CDB) = 0 \]

\[ rank(CDA - CDB) = rank(CD(A-B))\]

Usando o fato de \(rank(CD) = rank(D)\), então

\[ rank(CD(A-B)) = rank(D(A-B)) = 0 \].

Provamos assim que o rank é igual.

De modo equivalente, é simples mostrar que temos \(rank(CD)=rank(D)\) e \(ACD=BCD\). Queremos mostrar que implica em \( rank((A-B)D)=0\).

Como \(ACD - BCD = 0\), então

\[ rank(ACD-BCD) = 0 \]

\[ rank(ACD - BCD) = rank((A-B)CD)\]

Usando o fato de \(rank(CD) = rank(D)\), então

\[ rank((A-B)CD) = rank((A-B)D) = 0 \].

Provamos assim que o rank é igual. Quod Erat Demonstrandum.

comentou Mai 21 por CICERO FILHO (26 pontos)  
Uma outra forma de apresentar a letra “b” seria: supondo  \(F=A\ -\ B\)  e  \((CD)=rank(D)\), então se \(CDA=CDB\), é possível verificar que  \(rank\ (DF)=rank(CDF)=rank(CDA-CDB)=rank(0)=0\), isso implica que \(DF=0\) ou equivalentemente que \(DA=DB\).

Da mesma forma, supondo que \(rank(CD)=rank(C)\), então, se \(ACD=BCD\), é possível verificar que \(rank(FC)=\ rank(FCD)=\ rank(ACD\ -\ BCD)=\ rank(0)=0\), o que implica que \(FC=0\) ou equivalentemente que \(AC=BC\).
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