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Esperança condicional é uma projeção ortogonal?

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perguntada Mar 9 em Estatística por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
editado Mai 19 por Mateus Hiro Nagata

[Exercício 11 - Cáp 2 - "An introduction to econometric theory" - Ronald Gallant]

a)Mostre que a esperança condicional é uma projeção ortogonal no sentido que satisfaz a identidade pitagórica trigonométrica, ou seja, satisfaz

\[ E[Y^2] = E[E(Y|F)^2] + E[(Y-E(Y|F))^2] \]

b) Mostre também que as variáveis aleatórias \(E(Y|F)\) e \((Y - E(Y|F)\) são ortogonais, ou seja, satisfazem

\[ E[E(Y|F)*(Y-E(Y|F)] = 0 \]

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1 Resposta

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respondida Mai 19 por Mateus Hiro Nagata (26 pontos)  
editado Mai 21 por Mateus Hiro Nagata

a) Usaremos o Teorema 2.6 do livro: Se Z é \(\mathcal{F}_0 \)-mensurável e \(E(|Y|)\) e \( E(|YZ|) \) são ambos finitos, então

\[E(ZY|\mathcal{F}_0) = ZE(Y|\mathcal{F}_0) \]

Em particular, \( E(Z|\mathcal{F}_0) = Z \)

Queremos que seja válido

\[ E[Y^2] = E[E(Y|F)^2] + E[(Y-E(Y|F))^2].\]

Abrindo o último termo da equação, temos

\[ E[(Y-E(Y|F))^2] = E[Y^2 - 2YE(Y|F) + E(Y|F)^2]\]

\[= E[Y^2] - E[2YE(Y|F)] + E[E(Y|F)^2] \]

Reescrevendo o lado direito da equação acima, temos

\[ 2E[E(Y|F)^2] + E[Y^2] - 2E[YE(Y|F)] \]

Queremos mostrar que a equação acima é igual a \(E[Y^2]\), ou equivalentemente, queremos mostrar que

\[ 0 = 2E[E(Y|F)^2] - 2E[YE(Y|F)] \]

Ou seja, basta mostrar a equivalência de \( E[E(Y|F)^2] \) e \( E[YE(Y|F)]\). Pelo Teorema 2.6, conseguimos prová-lo.

b) Para a segunda parte da pergunta, queremos provar que

\[E[ E(Y|F) * (Y-E(Y|F))] = 0 \]

Temos pela propriedade associativa que
\[E[ YE(Y|F) -E(Y|F)^2] = 0. \]

Então basta provar que
\[E[Y E(Y|F)]] = E[E(Y|F)^2]. \]

Igualdade encontrada na primeira parte do exercício.

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