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Qualquer sequência convergente é definida unicamente pela soma de uma sequência constante e outra convergente a \(0\)?

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perguntada Mar 10 em Matemática por Gustavo Libório (1 ponto)  
editado Mai 13 por Gustavo Libório

Seja \( V\) o espaço vetorial das sequências reais convergentes.

Sejam \( W\) e \( Z\) subconjuntos de \( V\) tais que \( W\) é composto pelas sequências que convergem para \( 0\) e \( Z\) é composto pelas sequências constantes.

Mostre ou refute as afirmações de que \( W\) e \( Z\) são subespaços vetoriais de \( V\) e que
\( V=W\oplus Z\).

Exercício 12 da Seção 4.2.1 do livro "Essential Linear Algebra with Applications" de Titu Andreescu

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1 Resposta

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respondida Mar 10 por Gustavo Libório (1 ponto)  
editado Mai 17 por Gustavo Libório
 
Melhor resposta

Os subconjuntos \( W\) e \( Z\) são, de fato, subespaços vetoriais.

Para ver isso, vamos mostrar que \[x,y \in W \Rightarrow\ \alpha x+\beta y \in W,\\ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R} \] Isso que equivale a mostrar que o subconjunto é fechado para soma e multiplicação por escalar.

Tome, então, \( x,y \in W\) quaisquer. Sabemos que \(x=(x_n)_{n=1}^{\infty}\) com \(\lim x_n=0\) (\(x\) é uma sequência que converge para \(0\)).

Definidas soma e multiplicação por escalar termo a termo, vale que \[ \alpha x+\beta y =(\alpha x_n+\beta y_n)_{n=1}^{\infty}\] Pelas propriedades algébricas de limite concluímos que \(\lim \alpha x_n+\beta y_n=0\). Portanto, \( \alpha x+\beta y\) é uma sequência real que converge para \(0\) e está em \(W\), como queríamos.

Agora faremos o mesmo para \( Z\). Tome \( x,y \in Z\) e averigue \( \alpha x+\beta y\). Como ambas sequências são constantes, cada termo da sequência resultante será também uma constante, de onde concluímos imediatamente que \( \alpha x+\beta y \in Z\), completando a demonstração da primeira afirmação.

\(V =W \oplus Z\), ou seja, \(V\) é a soma direta dos conjuntos \(W\) e \(Z\)

A afirmação acima significa, formalmente, que cada elemento de \(V\) pode ser escrito como a soma de um elemento de \(W\) e um de \(Z\) e que tais elementos são únicos em seus conjuntos. Vamos primeiro mostrar que esses elementos existem e depois argumentar que são únicos.

Tome \(v\in V\) e descreva seus termos por \(v_n\). Por hipótese, \( v\) é uma sequência convergente, de modo que \( \lim v_n = L\) para algum \(L\) real. Defina outras duas sequências, \(w\) e \(z\), pelos termos \(w_n=v_n-L\) e \(z_n=L\) para todo \(n\). É fácil ver que \(z\in Z\) pois \(z\) é uma sequência constante igual a \(L\). Para ver que \(w\in W\) bastar perceber que seu limite é zero. Assim, existem os elementos \(w\in W \text{ e } z\in Z\) tais que \(v=w+z\) para qualquer \(v\in V\).

A unicidade já pode ser intuída a partir da argumentação acima, mas para deixar mais completo e didático vamos usar um argumento explícito.

Suponha que existem \(w, w'\in W \text{ e } z,z'\in Z\) cuja soma, par a par, resulta no mesmo \(v\in V\). Denote \(z_n=K\) e \(z'_n=K'\) onde \(K,K'\in \mathbb{R}\), uma vez que são sequências constantes. Os termos gerais das somas são descritos por:
\[w+z=v\\w^{\prime}+z^{\prime}=v \]

e os termos gerais:

\[(w_n+K)=(w^{\prime}_n+K^{\prime})=v_n \Rightarrow\]\[ w_n+K-w^{\prime}_{n}-K^{\prime}=0\]

Calculando o limite da expressão (lembrando que \(\lim w_n=\lim w'_n=0\)), concluímos que \(L=L'\). Isso significa que \(z=z'\). Além disso, requer que \(\forall n\) valha que \(w_n=w'_n\), ou seja, \(w=w'\). Isso completa a questão.

comentou Abr 1 por Matheus Cintrão (11 pontos)  
Eu utilizei praticamente a mesma resolução com a diferença de que eu optei por provar a unicidade da soma mostrando que \( w + z = 0 \), onde \( w \in W\) e \( z \in Z\) é \( w = z = 0\). Ou seja, que para que uma sequência que converge para 0 e uma sequencia constante somadas gerem uma sequência de 0's é necessário que ambas sejam  sequencias de zeros:

Sejam \( w \in W\) e \( z \in Z\)
Seja \( w + z =0\)
Aplicando o limite na equação temos que \( lim w + lim z = 0\)
Como \(w \in W\) sabemos que \(lim w = 0\), logo \(lim z = 0\). Porém, se \(z \in Z\) sabemos que \(z\) é constante, logo todos os elementos da sequência possuem o mesmo valor este é igual ao limite da sequência. Logo  \(z\) é uma sequência de 0's.

Retornando a primeira equação, se \(z\) é uma sequência de 0's, a única sequência que pode ser somada a ela e que gera uma sequencia de 0's é outra sequência nula. Logo \(w=0\)

Outra prova que poderia ter sido apresentada é a de que \( W \cap Z = \lbrace 0 \rbrace \). Aqui também é simples e basta perceber que se \(z \in W \cap Z \), \(z\) deve convergir para zero pois pertence a \(W\). Mas se pertence a \(Z\) é uma sequência constante e o valor de todos os seus elementos é igual ao do seu limite, logo deve ser uma sequência de zeros.

Vale ressaltar que isto não é uma correção a solução apresentada, apenas uma solução alternativa.
comentou Mai 17 por danielcajueiro (5,581 pontos)  
editado Mai 17 por danielcajueiro
Em latex, o melhor eh usar o simbolo aspas simples usando o simbolo \(^\prime\) = ^\prime. Veja que está estranho, pois essa aspas simples não interage bem com html.
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