Shilov - Linear Algebra - Cap. 4 Exercício 5

Question

Exercício 1 de econometria
Considerando o espaço tridimensional, seja \(A\) o operador que faz uma rotação de 90º em torno do eixo OX, \(B\) o operador que faz uma rotação de 90º em torno do eixo OY e \(C\) o que faz uma rotação de 90º em torno do eixo OZ, mostre que:

\[A^4=B^4=C^4=E\]

Onde \(E\) é o operador identidade (i.e., \(EX=X\)). Além disso, mostre que:

\[AB\neq BA\]

\[A^2B^2=B^2A^2\]

Verifique também se a relação \(ABAB=A^2B^2\) é válida.

Answer 1

Resposta:

Sendo \(R_i(\theta)\) o operador que faz uma rotação de ângulo \(\theta\) de um vetor no espaço tridimensional (\(\mathbb{R}^3\)) ao longo da direção \(i\), temos que as operações que fazem uma rotação em cima dos eixos OX,OY e OZ são, respectivamente:

\[R_x(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&cos(\theta)&-sen(\theta) \\ 0&sen(\theta)&cos(\theta) \end{bmatrix}\]

\[R_y(\theta)=\begin{bmatrix}cos(\theta)&0&sen(\theta)\\ 0&1&0 \\-sen(\theta)&0&cos(\theta)\end{bmatrix}\]

\[R_z(\theta)=\begin{bmatrix}cos(\theta)&-sen(\theta)&0 \\sen(\theta)&cos(\theta)&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}\]

Substituindo \(\theta\) por \(\pi/2\) para o caso de 90º, temos:

\(R_x(\pi/2)=A=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\0&cos(\pi/2)&-sen(\pi/2)
\\0&sen(\pi/2)&cos(\pi/2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}\)

\(R_y(\pi/2)=B=\begin{bmatrix}cos(\pi/2)&0&sen(\pi/2)\\0&1&0\\ -sen(\pi/2)&0&cos(\pi/2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0&0&1\\0&1&0\\ -1&0&0\end{bmatrix}\)

\(R_z(\pi/2)=C=\begin{bmatrix}cos(\pi/2)&-sen(\pi/2)&0\\sen(\pi/2)&cos(\pi/2)&0\\0&0&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

Para\(A,B\) e \(C\), temos que:

\(A^2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\)

\(A^4=\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=E\)

\(B^2=\begin{bmatrix}
0&0&1\\0&1&0\\ -1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&0&1\\0&1&0\\ -1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&-1\end{bmatrix}\)

\(B^4=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=E\)

\(C^2=\begin{bmatrix}
0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

\(C^4=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=E\)

Portanto, fica demonstrado que:

\[A^4=B^4=C^4=E\]

Para provar a segunda desigualdade:

\(AB=\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&0&1\\0&1&0\\ -1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\)

\(BA=\begin{bmatrix}
0&0&1\\0&1&0\\ -1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0&1&0\\0&0&-1\\ -1&0&0\end{bmatrix}\)

É evidente que:

\[A^2=R_x(\pi), B^2=R_y(\pi),C^2=R_z(\pi)\]

E a última multiplicação se torna:

\(A^2B^2=\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=C^2\)

\(B^2A^2=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=C^2\)

Dessa forma, temos que a rotação de 180º em OX e depois em OY, ou em ordem contrária, é equivalente a uma rotação de 180º no eixo OZ:

\(A^2B^2=B^2A^2=C^2=R_z(\pi)\)

Como já temos o resultado de \(AB\):

\[ABAB=\begin{bmatrix}0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0 \end{bmatrix}\neq C^2 = A^2B^2\]

Podemos verificar isso também partindo do fato de que já sabemos da desigualdade \(BA\neq AB\):

\(BA \neq (AB) \Rightarrow ABA \neq A(AB) \Rightarrow ABAB \neq A(AB)B =A^2B^2\)

Comments

Muito boa resposta João Pedro!

Interessante a utilização da equivalência entre \(C^2\) e as rotações \( A^2B^2 \) e \( B^2A^2 \) de forma a mostrar a igualdade entre estas as duas últimas, pois tal abordagem facilita bastante a visualização do resultado.

A utilização direta de álgebra matricial para verificar que a igualdade  \( ABAB = A^2B^2 \) não é válida também foi uma boa abordagem, dado que simplificou bastante este item.

Por fim, apenas de forma a complementar ainda mais a solução apresentada, deixo abaixo como apêndice uma breve demonstração referente à obtenção dos "Operadores de Rotação" utilizados na solução deste problema.

Rotação de Vetores

Seja \(R:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2  \) o operador que leva um vetor \( v \) no vetor \( Rv\), que dele resulta pela rotação de um ângulo \( \theta \) em torno da origem.

Sendo \( v = (x , y) \), temos que:

\[ v' =  \left[  \begin{array}{col_1}
            x' \\
            y' \\
            \end{array} \right] =
            Rv = \left[  \begin{array}{col_1 col_2}
            a & b \\
            c & d\\
            \end{array} \right]
            \left[  \begin{array}{col_1}
            x \\
            y \\
            \end{array} \right] =
           \left[  \begin{array}{col_1}
            ax + by \\
            cx + dy\\
            \end{array} \right]  \]

Ou seja:

\[ x' = ax + by \]

\[ y' = cx + dy \]

Neste caso, tomando os vetores canônicos \( e_1 = (1, 0 ) \) e \( e_2 = (0,1)\), obtemos \( Re_1 = (a, c) \) e \( Re_2 = (b, d) \). Então, considerando as definições de seno e cosseno, obtemos o seguinte:

\[ a = cos \theta \quad \quad c = sen \theta \]
\[ b = -sen \theta \quad \quad d = cos \theta  \]

Obs. Para uma melhor visualização dos resultados acima: http://prorum.com/?qa=blob&qa_blobid=11916037387285394661 .

E, portanto, nossa matriz referente ao operador de rotação em questão será dada por:

\[ R =   \left[  \begin{array}{col_1 col_2}
            cos \theta & -sen \theta \\
            sen \theta & cos \theta \\
            \end{array} \right] \]

A partir deste resultado, temos que a extensão para o caso de três dimensões utilizado no problema é imediata.

Adicionalmente, importante ressaltar que a especificação do sentido da rotação é relevante neste caso. O problema considera, por exemplo, que quando estamos fazendo a rotação em torno do eixo \( OX \) estamos levando \( OY \) em \( OZ \). Se fosse o contrário (ou seja, se estivéssemos considerando levar \( OZ \) em \( OY \)), teríamos então uma inversão de sinais no resultado final (basicamente, para considerar este outro caso teríamos que inverter o sinal dos elementos com \(sen \theta \) na matriz \( R \) ).

Obs. O canal do 3Blue1Brown possui vídeos bem interessantes sobre o tema, sendo que alguns deles fornecem uma boa visualização das rotações em três dimensões aqui abordadas (neste caso deixo como recomendação o seguinte: Three-Dimensional Linear Transformations - https://www.youtube.com/watch?v=rHLEWRxRGiM&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=5&t=127s)