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Shilov - Linear Algebra - Cap. 1 Exercício 8

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perguntada Mar 11 em Matemática por João Pedro Heringer (11 pontos)  

Calcule o seguinte determinante:

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 &3 \\ 1 & 2 - x^2 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 5\\ 2 & 3 & 1 & 9 - x^2 \end{bmatrix}\]

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1 Resposta

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respondida Mar 11 por João Pedro Heringer (11 pontos)  

Ao usar a fórmula de Laplace a partir da segunda coluna, temos:

\[det(A)=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 9-x^{2}\end{vmatrix} + (-1)^{2+2}(2-x^2)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 9-x^{2}\end{vmatrix}\]
\[+(-1)^{3+2}(3)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 9-x^2 \end{vmatrix} + (-1)^{4+2}(3)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}\]

Os dois últimos membros da soma estão multiplicando o determinante de matrizes que possuem a primeira linha igual a primeira. Portanto, os vetores-linha dessas matrizes são linearmente dependentes e o determinante de ambas é igual a zero:

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 9-x^2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}=0\]

O determinante resume a:

\[det(A)=(-1)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 9-x^{2}\end{vmatrix} + (2-x^2)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 9-x^{2}\end{vmatrix}\]

\[det(A)=(2-x^2-1)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 9-x^{2}\end{vmatrix}\]

O determinante da menor é:

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 9-x^{2}\end{vmatrix}=(9-x^2)+2*5*2+3*2*1-3*1*2-5-2*2*(9-x^2)\]

Portanto:

\[(9-x^2)+20+6-6-5-4(9-x^2)=15-3(9-x^2)=3x^2-12\]

Então o determinante consiste no seguinte polinômio de quarto grau:

\[det(A)=3(1-x^2)(x^2-4)\]

Que é anulado quando \(x^2=1\) ou \(x^2=4\). Portanto, as raízes desse polinômio são \(x_1=1, x_2=-1, x_3=2, x_4=-2\)

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