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Prove a Desigualdade de Chebyshev para o caso discreto.

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perguntada Mar 12 em Estatística por Lucas Iantorno Klotz (26 pontos)  
editado Mai 14 por Lucas Iantorno Klotz

Exercício 33 do capítulo 4 do livro de Rice (2007).

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1 Resposta

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respondida Mar 12 por Lucas Iantorno Klotz (26 pontos)  
editado Mar 12 por Lucas Iantorno Klotz

Para o problema, usaremos as definições e terminologias de Rice (1995).

Desigualdade de Chebyshev. Seja \( X\) uma variável aleatória com média \(\mu\) e variância \(\sigma ^2\). Então, para qualquer \(t > 0\), \[ P(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2} .\]
Intuitivamente, a desigualdade postula que a diferença entre a variável aleatória, \(X\), e a sua esperança, \( E(X) = \mu \), é limitada pela sua variância.

Iremos definir algumas propriedades e para assim realizarmos a demonstração. Para o caso discreto:
Definição(Valor Esperado). Se \(X\) é uma variável aleatória discreta com função frequência \(p(x)\), o valor esperado de \(X\), denotado por \(E(X)\), é,
\[ E(X) = \sum_i x_ip(x_i), \]
em que \(E(X) = \sum_i |x_i|p(x_i) < \infty\) e \(E(X)\) é também chamado de média de \(X\) e denotada por \(\mu\).
Definição(Variância). Se \(X\) é uma variável aleatória discreta com função frequência \(p(x)\) e \(E(X) = \mu \), então, \[Var(X) = \sum_i (x_i - \mu)^2p(x_i),\]
em que \(Var(X)\) é denotada por \(\sigma^2\).

Vamos à prova. Considere a desigualdade de Markov:
\[P(X \geq t) \leq \frac{E(X)}{t},\]
tal que \(X\) pode representar qualquer variável aleatória. Pois bem, então, podemos considerar \(|X - \mu| \), sem perda de generalidade. Então, \[ P(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{E(|X - \mu|)}{t} = \frac{\sum_i (x_i - \mu)p(X=x_i)}{t},\]
mas repare que \( P(|X - \mu| \geq t) = P(|X - \mu|^2 \geq t^2)\), então, ao elevarmos ao quadrado, temos:
\[ P(|X - \mu|^2 \geq t^2) \leq \frac{\sum_i (x_i - \mu)^2p(X=x_i)}{t^2},\]
mas ora, o numerador do lado direito é justamente a definição de variância para uma variável aleatória discreta. Em particular,
\[ P(|X - \mu| \geq t) = P(|X - \mu|^2 \geq t^2)\leq \frac{Var(X)}{t^2} \]
\[ \leq \frac{\sigma^2}{t^2},\]
como queríamos demonstrar. Isso encerra o problema.

comentou Mar 15 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 24 por Maria Salete
Achei a resolução direta e muito bem elaborada. Ótima resolução!
Abaixo, apresento uma outra resolução para quem tiver interesse em ver mais de uma forma de provar a Desigualdade de Chebyshev.

Precisamos provar: \[(1) P(|X - \mu|  \gt t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}\]

Uma forma equivalente de ver  \((1) \) é: \[(1) P((X - \mu)^2  \gt t^2) \leq \frac{\sigma^2}{t^2},\] desde que \(|X-\mu|>t \Longleftrightarrow(X-\mu)^{2}>t^{2}\).

Vamos definir uma variável aleatória \(Y=(X-\mu)^{2}\). Dessa forma, \(E(Y)=E\left[(X-\mu)^{2}\right]=\sigma^{2}\). Também é possível definir a \(E(Y)\) usando sua definição para variáveis aleatórias discretas:

\[E(Y)=\sum_{y \in D} y \cdot P(Y=y)=\sum_{y \in D \atop y \leq t^{2}} y \cdot P(Y=y)+\sum_{y \in D \atop y>t^{2}} y \cdot P(Y=y)\]

Sendo \(D \subseteq \mathbb{R}\)  o conjunto de todos valores \(y\) para os quais \( P(Y=y) \neq 0\)

Da definição de \(Y\) é possível ver que a variável só assume valores não negativos, portanto:

\[(2) E(Y) \geq \sum_{y \in D \atop y>t^{2}} y \cdot P(Y=y) \geq \sum_{y \in D \atop y>t^{2}} t^{2} \cdot P(Y=y)=t^{2} \cdot \sum_{y \in D \atop y>t^{2}} P(Y=y)=\]

\[=t^{2} \cdot P\left(Y>t^{2}\right)\]

Como anteriormente vimos que \(E(Y)=\sigma^{2}\), e só substituir na expressão \((2)\)que provamos a Desigualdade de Chebyshev:

\[\sigma^{2} \geq t^{2} \cdot P\left(Y>t^{2}\right) \Longleftrightarrow P\left(Y>t^{2}\right) \leq \frac{\sigma^{2}}{t^{2}} \Longleftrightarrow P\left((X-\mu)^{2}>t^{2}\right) \leq \frac{\sigma^{2}}{t^{2}}\]
comentou Mar 20 por Lucas Iantorno Klotz (26 pontos)  
Oi, Maria, como vai?
 Obrigado pela resolução alternativa, especialmente por não ter usado a desigualdade de Markov de forma direta.
Fiquei com uma dúvida em \((2)\). Na segunda desigualdade você definiu \(y = t^2\), mas o somatório implica que i) \(y \in D\) e ii) \(y > t^2\). Não deveria ser \(ii')\) \(y \leq t^2\)?
Novamente, obrigado pela sua disposição!
comentou Mar 24 por Maria Salete (41 pontos)  
Oi, Lucas. Tudo bem, e você? Obrigada pelo comentário. Revisei a minha resolução e acredito que em \((2)\) é pra ser mesmo \(y \gt t^2\), não consegui pensar no porque seria \(y \leq t^2\), mas vou rever novamente com mais tempo pra confirmar direitinho. De toda forma, fiz uma alteração no início da resolução, talvez agora fique mais fique mais fácil de ver.
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