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John Rice - Mathematical Statystics and Data Analysis - Cap. 2 Exercício 4

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perguntada Mar 12 em Estatística por João Pedro Heringer (11 pontos)  

Sendo X uma variável aleatória que assume valores no conjunto dos inteiros, demonstre que a função de probabilidade é relacionada com a função de probabilidade acumulada por: \(p(k)=F(k)-F(k-1)\)

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2 Respostas

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respondida Mar 12 por João Pedro Heringer (11 pontos)  

Por definição, temos:

\[F(k)=p(X\leq k)=p(\omega \in \Omega:X(\omega) \leq k )\]

Como \(X \in \mathbb{Z}\) e os inteiros formam um conjunto enumerável temos, que a probabilidade \(p(X=a)\neq 0\) para \(a \in \Omega\). Ou seja, a probabilidade de \(X\) assumir um valor em um dado ponto é diferente de zero. Como, do ponto de vista de conjuntos, o evento \((X \leq k)\) é equivalente a:

\[(X \in X(\Omega) : X\leq k) = \bigcup_{k_i\leq k}(X=k_i)\]

Então temos uma sequência de eventos disjuntos. Portanto, a probabilidade da união é a soma das probabilidades dos eventos que a constituem:

\[p(\bigcup_{k_i\leq k}(X=k_i))=\sum_{k_i\leq k}p(X=k_i)\]

E assim, temos:

\[p(X=k) + \sum_{k_i\leq k-1}p(X=k_i) = p(X=k) + p(X\leq k-1)\]

Logo, o lado direito da equação anterior se torna:

\[p(X=k) + p(X\leq k-1)=p(X=k)-F(k-1)\]

Substituindo a equação acima na expressão para a função de probabilidade acumulada no enunciado:

\[F(k)-F(k-1)=P(X=k)+F(k-1)-F(k-1)=P(X=k)\]

E assim está concluída a demonstração.

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respondida Mar 13 por Thiago Lappicy (6 pontos)  

Muito interessante a resposta do João Pedro. Ele trouxe fundamentos teóricos importantíssimos para provar o que se pede do exercício.

Um outro lado interessante seria ver isso sendo feito de uma maneira empírica, como está detalhado abaixo.

Para o exemplo, vamos utilizar o lançamento de três moedas (não-viciadas) e usaremos k = "número de Caras".

Partimos da própria definição de que:

A imagem será apresentada aqui.

Criamos então uma tabela com 4 colunas.

A primeira sendo o valor de k, ou seja, o número de caras obtidas nos 3 lançamentos (podendo ser então 0, 1, 2 ou 3).

Na segunda coluna colocaremos o valor de p(k). Como k é o resultado do lançamento de uma moeda, podemos calcular p(k) como sendo a razão entre o número de eventos favoráveis (quantas possibilidades de se ter k caras no lançamento) e o número de eventos do espaço amostral (número total de possibilidades dos lançamentos, dado por 2^n).

A terceira coluna teria o valor de F(k), que por definição possui o valor de
p(X <= k).
Portanto, como X é uma variável discreta, para se ter o valor de p(X <= k), basta somar as probabilidades anteriores de p(X = k) + ... + p(X = (k - k)).

A quarta e última coluna iremos escrever o valor de F(k) - F(k-1) para compararmos com p(k) e confirmarmos o que o João respondeu aqui no prorum também (que de fato são equivalentes).

A tabela preenchida pode ser vista abaixo.

A imagem será apresentada aqui.

Percebemos então que realmente,
p(k) = F(k) - F(k-1)

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