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Prove a Lei de Morgan para uniões e intersecções enumeráveis.

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perguntada Mar 12 em Estatística por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  

Prove a Lei de Morgan para uniões e intersecções enumeráveis.

Exercício nº 2 do capítulo 1 do Livro “An introduction to econometric theory " de Ronald Gallant".

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1 Resposta

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respondida Mar 12 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
editado Mar 14 por Luiz Guilherme Hass

Dados os conjuntos A e B e seus conjuntos complementares \(A^C\) e \(B^C\), respectivamente, temos :

\(P(A) + P(A^C) = 1\) e \(P(B) + P(B^C) = 1\).

As duas Leis de Morgan são:

1.\((A ∪ B)^C\) = \(A^C ∩ B^C\)

O conjunto complementar da união entre A e B é igual à intersecção entre o complementar de A e o complementar de B.

2.\((A ∩ B)^C\) = \(A^C ∪ B^C\)

O conjunto complementar da intersecção dos conjuntos A e B é igual à união entre o complementar de A e o complementar de B.

Prova da Lei 1: \((A ∪ B)^C\) = \(A^C ∩ B^C\)

dado um \(x\) qualquer,

\(∈ (A∪B)^C\) (I)

\(x ∉ (A ∪ B)\)

\(x ∉ A\) e \(x ∉ B\)

\(x ∈ A^C\) e \(x ∈ B^C\)

\(x ∈ A^C ∩ B^C\) (II),

portanto, (I) = (II).

Prova da Lei 2: \((A ∩ B)^C\) = \(A^C ∪ B^C\)

dado um \(x\) qualquer,

\(x\) \(∈ ( A ∩ B )^C\) (III)

\(x ∉ A ∩ B )\)

\(x ∉ A\) ou \(x ∉ B\)

\( x ∈ A^C\) ou \(x ∈ B^C\)

\(x ∈ A^C ∪ B^C\) (IV)

portanto, (III) = (IV)

As duas provas consideram apenas dois conjuntos A e B, porém as duas leis de Morgan podem ser estendidas para infinitos conjuntos.

Desta forma, podemos generalizar as leis:

Sendo I um índice (1,2,3,...), i ∈ I

Lei 1: (\(⋃_i^∞\)\( A_i )^C = ⋂_i^∞ A_i^C\)

Lei 2: \((⋂_i^∞A_i)^C = ⋃_i^∞ A_i^C\)

comentou Mar 13 por Maria Salete (41 pontos)  
editado Mar 15 por Maria Salete
Achei a resolução objetiva e bem elaborada. Ótima resolução!

Pra quem não é do curso, vou explicitar algumas definições que são necessárias para a resolução da questão e, também, apresentar uma outra forma de provar.

DEFINIÇÃO I: A união  \((A ∪ B)\) entre dois conjuntos \(A \) e \(B\)  é definida por:
                  \[A \cup B=\{x \in U \mid x \in A \text { ou } x \in B\} \text { . }\]

DEFINIÇÃO II: A interseção \(A ∩ B\)  entre dois conjuntos \(A \) e \(B\)  é definida por:
\[A \cap B=\{x \in U \mid x \in A \text { e } x \in B\}\].

DEFINIÇÃO III: O complemento \(C A\) do conjunto \(A\) é definido por:
\[\complement A=U \backslash A=\{x \in U \mid x \notin A\}\]

Usando a notação definida acima, é necessário provar:

\[\begin{array}{l}
i) \complement(A \cup B)=  \complement A \cap \complement B \\
ii)  \complement(A \cap B)=\complement A \cup \complement B
\end{array}\]

Para isso, usaremos as propriedades:
\(1) \quad \complement(\complement A)=A\),
\(2) \quad A \subset B \Leftrightarrow \complement B \subset \complement A \)

PROVA de (i):
Como \(A \subset A \cup B \text { e } B \subset A \cup B\), da propriedade 2 é possível afirmar que: \(\complement(A \cup B) \subset  \complement A \text { e } \complement(A \cup B) \subset \complement B\), onde, \( \complement(A \cup B) \subset \complement A \cap \complement B\).

Definindo \(X=\complement A \cap \complement B\), tem-se que: \(X \subset \complement A \text { e } X \subset \complement B\). Da propriedade 2, \( A \subset \complement X \text { e } B \subset \complement X, \) onde, \(A \cup B \subset \complement X\). Das propriedades 1 e 2, tiramos que: \(X \subset \complement (A \cup B),\)  isto é, \(\complement A \cap \complement  B \subset \complement (A \cup B)\).  Diante disso, conclui-se que: \(\complement (A \cup B)=  \complement A \cap \complement B \). A prova de (ii) também pode ser feita usando esse mesmo raciocínio.
comentou Mar 21 por Stuart Mill (1,404 pontos)  
Ela não só pode ser generalizada para uniões e intersecções enumeráveis, como para famílias não enumeráveis também... Para qualquer coleção indexada por um conjunto não vazio \( \Gamma\) e \(\left\{ A_{\alpha }:\alpha \in \Gamma \right\}\) uma coleção de conjuntos:
1) \(\left( \bigcup\nolimits_{\alpha }A_{\alpha
}\right) ^{c}=\bigcap\nolimits_{\alpha }A_{\alpha }^{c}\)
2)  \(\left( \bigcap\nolimits_{\alpha }A_{\alpha
}\right) ^{c}=\bigcup\nolimits_{\alpha }A_{\alpha }^{c}\)
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